Kako uporabljati "Če in samo če" v matematiki

Ko beremo o statistiki in matematiki, se en stavek, ki se redno prikaže, "če in samo če." Ta stavek se pojavlja zlasti v izjavah matematičnih izrek ali dokazov. Toda kaj natančno pomeni ta izjava?

Da bi razumeli "če in samo če", moramo najprej vedeti, kaj pomeni pogojna izjava. Pogojna izjava je tista, ki je sestavljena iz dveh drugih stavkov, ki ju bomo označili s P in Q. Za oblikovanje pogojne izjave bi lahko rekli "če je P potem Q."

Sledijo primeri tovrstnih izjav:

• Če zunaj dežuje, vzamem dežnik s seboj na sprehod.
• Če boste trdo študirali, boste zaslužili A.
• Če n je deljivo s 4, torej n je deljivo z 2.

Tri druge izjave so povezane s katero koli pogojno izjavo. Temu se reče obratno, obratno in kontrapozitivno. Te izjave oblikujemo tako, da spremenimo vrstni red P in Q iz prvotnega pogojnega in vstavimo besedo "ne" za obratno in kontrapozitivno.

Tu moramo upoštevati samo obratno. Ta izjava izhaja iz izvirnika z besedami "če je Q, potem P." Recimo, da začnemo s pogojno »če zunaj dežuje, potem tudi jaz vzemite dežnik s seboj na sprehod. " Nasprotovanje te izjave je: „Če vzamem dežnik s seboj na sprehod, potem dežuje zunaj. "

Ta primer moramo upoštevati le, če se zavedamo, da izvirno pogojno ni logično isto kot njegovo obratno. Zmeda teh dveh izjav je znana kot obratna napaka. Nekdo bi si lahko na sprehod privoščil dežnik, čeprav zunaj morda ne dežuje.

Za drug primer štejemo pogojno "Če je število deljivo s 4, je deljivo z 2." Ta trditev očitno drži. Vendar je v tej trditvi obratno: "Če je število deljivo z 2, potem je deljivo s 4", je napačno. Moramo samo pogledati številko, kot je 6. Čeprav 2 deli to številko, 4 ne. Medtem ko je izvirna izjava resnična, njena nasprotno ni.

To nas pripelje do dvodobne izjave, ki je znana tudi kot izjava "če in samo če". Določeni pogojni stavki imajo tudi sprevode, ki so resnični. V tem primeru lahko oblikujemo tisto, kar je znano kot dvokondicionalen stavek. Dvokondicionalen stavek ima obliko:

"Če je P potem Q, in če Q, potem P."

Od tega Gradnja je nekoliko nerodno, še posebej, če sta P in Q lastni logični stavki, poenostavimo izjavo dvokondiciona z uporabo fraze "če in samo če." Namesto da rečemo "če je P potem Q in če je Q potem P", potem rečemo "P če in samo če je Q." Ta konstrukcija nekatere odpravi odvečnost.

Na primer stavek "če in samo če", ki vključuje statistiko, ne glej več kot dejstvo o vzorčnem standardnem odmiku. Vzorčni standardni odklon podatkovnega niza je enak nič če in samo, če so vse vrednosti podatkov enake.

To dvokondicijsko izjavo razbijemo na pogojno in njeno obratno. Potem vidimo, da ta izjava pomeni naslednje:

• Če je standardni odklon nič, potem so vse vrednosti podatkov enake.
• Če so vse vrednosti podatkov enake, je standardni odklon enak nič.

Če poskušamo dokazati dvokondicijo, potem večino časa na koncu razdelimo. Zaradi tega imamo naš dokaz dva dela. En del, ki ga dokazujemo, je "če je P potem Q." Drugi del dokazila, ki ga potrebujemo, je "če je Q, potem P."

Dvopogojne izjave so povezane s pogoji, ki so nujni in zadostni. Razmislite o izjavi „če je danes Velika noč, jutri je ponedeljek. " Danes je velika noč, da bo jutri ponedeljek, vendar ni nujno. Danes bi bila lahko katera koli druga nedelja razen velike, jutri pa še ponedeljek.

Stavek "če in samo če" se pri matematičnem pisanju uporablja dovolj pogosto, da ima svojo kratico. Včasih je dvodelni stavek v stavku stavka "če in samo če" skrajšan na preprosto "iff." Tako izjava „P, če in samo, če Q“ postane „P iff Q.“