Kaj je standardna normalna porazdelitev v statistiki?

Bell krivulje prikažite v celotni statistiki. Različne meritve, kot so premer semen, dolžina ribjih plavuti, ocene na SAT in uteži posameznih listov rebrastega papirja, tvorijo zvončne krivulje, ko so zgrabljene. Splošna oblika vseh teh krivulj je enaka. Toda vse te krivulje so različne, ker je zelo malo verjetno, da bi katera od njih imela enako srednjo vrednost ali standardni odklon. Zvonke z velikimi standardnimi odkloni so široke, zvončne krivulje z majhnimi standardnimi odkloni pa so kožne. Zvončne krivine z večjimi sredstvi so bolj pomaknjene v desno kot tiste z manjšimi sredstvi.

Da bi bilo to nekoliko bolj konkretno, se pretvarjajmo, da merimo premer 500 jedrc koruze. Nato podatke posnamemo, analiziramo in graficiramo. Ugotovljeno je, da je nabor podatkov oblikovan kot zvončna krivulja in ima povprečno vrednost 1,2 cm s standardnim odklonom .4 cm. Predpostavimo, da enako storimo s 500 fižoli in ugotovimo, da imajo srednji premer .8 cm s standardnim odmikom .04 cm.

Krivulje zvonjenja obeh teh nizov podatkov so prikazane zgoraj. Rdeča krivulja ustreza podatkom o koruzi, zelena pa krivulji. Kot vidimo, sta središča in širine teh dveh krivulj različni.

To sta očitno dve različni krivulji zvona. Različni so, ker so njihova sredstva in standardna odstopanja ne ujemajo. Ker lahko vsak zanimiv niz podatkov, na katerega naletimo, ima poljubno pozitivno številko kot standardno odstopanje in poljubno število za povprečno, smo res samo praskali površino neskončno število zvonskih krivulj. To je veliko krivulj in preveč preveč, da bi se jih lotili. Kaj je rešitev?

Eden od ciljev matematike je posplošiti stvari, kadar je to mogoče. Včasih je več posameznih težav poseben primer ene same težave. To stanje, ki vključuje zvončke, je odličen prikaz tega. Namesto da bi se ukvarjali z neskončnim številom zvonskih krivulj, jih lahko vse povežemo v eno samo krivuljo. Ta posebna krivulja zvona se imenuje standardna krivulja zvonca ali standardna normalna porazdelitev.

Standardna krivulja zvonca ima srednjo vrednost nič in standardni odklon ena. Katero koli drugo krivuljo zvonca lahko primerjamo s tem standardom s pomočjo a neposreden izračun.

Vse lastnosti katere koli krivulje zvonca imajo za običajno normalno porazdelitev.

• Standardna normalna porazdelitev ima ne le srednjo vrednost nič, temveč tudi srednjo vrednost in način nič. To je središče krivulje.
• Standardna normalna porazdelitev kaže simetrijo zrcala na nič. Polovica krivulje je levo od ničle, polovica krivulje pa desno. Če bi bila krivulja zložena vzdolž navpične črte na nič, bi se obe polovici popolnoma ujemali.
• Standardna normalna porazdelitev sledi pravilu 68-95-99.7, kar nam olajša oceno naslednjega:
  • Približno 68% vseh podatkov je med -1 in 1.
  • Približno 95% vseh podatkov je med -2 ​​in 2.
  • Približno 99,7% vseh podatkov je med -3 in 3.

Na tem mestu se bomo morda spraševali: "Zakaj se truditi s standardno krivuljo zvona?" Morda se zdi nepotrebno zaplet, toda standardna krivulja zvona bo koristna, ko bomo nadaljevali s statistiko.

Ugotovili bomo, da ena vrsta težav v statistiki zahteva, da najdemo območja pod odseki katere koli krivulje zvona, ki jo srečamo. Krivulja zvona ni lepe oblike za območja. Ni kot pravokotnik oz desni trikotnik ki imajo enostavno formule območja. Iskanje območij delov krivulje zvona je lahko težavno, v resnici tako težko, da bi morali uporabiti nekaj računa. Če ne standardiziramo svojih krivulj zvončkov, bi morali vsakič, ko želimo najti območje, opraviti nekaj računa. Če standardiziramo svoje krivulje, je bilo za nas opravljeno vse delo izračuna površin.