Ena uporaba a hi-kvadratna porazdelitev je s hipoteznimi testi za multinomalne poskuse. Da vidim, kako to preizkus hipotez dela, raziskali bomo naslednja dva primera. Oba primera delujeta v istem nizu korakov:
- Oblikujte ničelne in alternativne hipoteze
- Izračunajte testno statistiko
- Poiščite kritično vrednost
- Odločite se, ali bomo zavrnili nično hipotezo ali ne.
Primer 1: Pošten kovanec
Za prvi primer želimo pogledati kovanec. Za pravičen kovanec je enaka verjetnost 1/2, da se dvignejo glave ali repi. Kovanček vržemo 1000-krat in zabeležimo rezultate skupno 580 glav in 420 repov. Hipotezo želimo preizkusiti na 95-odstotni stopnji zaupanja, da je kovanec, ki smo ga prelili, pravičen. Bolj formalno je ničelna hipotezaH0 je, da je kovanec pravičen. Ker primerjamo opažene frekvence rezultatov od metanja kovanca s pričakovanimi frekvencami iz idealiziranega poštenega kovanca, je treba uporabiti test hi-kvadrat.
Izračunajte statistiko Chi-Square
Začnemo z izračunom statistike hi-kvadrat za ta scenarij. Obstajata dva dogodka, glave in repi. Opažena pogostost glav je
f1 = 580 s pričakovano pogostostjo e1 = 50% x 1000 = 500. Repi imajo opaženo pogostost f2 = 420 s pričakovano pogostostjo e1 = 500.Zdaj uporabljamo formulo za statistiko hi-kvadrat in vidimo, da je χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Poiščite kritično vrednost
Nato moramo najti kritično vrednost za pravilno razporeditev chi-kvadratov. Ker obstajata dva rezultata za kovanec, je treba upoštevati dve kategoriji. Število stopinj svobode je eno manj kot število kategorij: 2 - 1 = 1. Za to število stopenj svobode uporabimo hi-kvadratno porazdelitev in vidimo, da je χ20.95=3.841.
Zavrniti ali če ne želite zavrniti?
Na koncu primerjamo izračunano statistiko hi-kvadrata s kritično vrednostjo iz tabele. Od 25.6> 3.841 zavračamo nično hipotezo, da gre za pošten kovanec.
Primer 2: Pošteno umreti
Pošteno umre enaka verjetnost 1/6 valjanja enega, dveh, treh, štirih, petih ali šestih. Kolesamo matrico 600-krat in upoštevamo, da se valjamo 106-krat, dva 90-krat, tri 98-krat, štiri 102-krat, pet 100-krat in šestkrat 104-krat. Hipotezo želimo preizkusiti na 95-odstotni stopnji zaupanja, da imamo pošteno smrt.
Izračunajte statistiko Chi-Square
Obstaja šest dogodkov, vsak s pričakovano pogostostjo 1/6 x 600 = 100. Opazovane frekvence so f1 = 106, f2 = 90, f3 = 98, f4 = 102, f5 = 100, f6 = 104,
Zdaj uporabljamo formulo za statistiko hi-kvadrat in vidimo, da je χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2+ (f3 - e3 )2/e3+(f4 - e4 )2/e4+(f5 - e5 )2/e5+(f6 - e6 )2/e6 = 1.6.
Poiščite kritično vrednost
Nato moramo najti kritično vrednost za pravilno razporeditev chi-kvadratov. Ker obstaja šest kategorij rezultatov za matriko, je število stopenj svobode za eno manjše od tega: 6 - 1 = 5. Porazdelimo chi-kvadrat za pet stopenj svobode in vidimo, da je χ20.95=11.071.
Zavrniti ali če ne želite zavrniti?
Na koncu primerjamo izračunano statistiko hi-kvadrata s kritično vrednostjo iz tabele. Ker je izračunana statistika hi-kvadrata 1,6 manjša od naše kritične vrednosti 11.071, smo ne zavrne nična hipoteza.