Monopol je družabna igra, v kateri igralci sprožijo kapitalizem. Igralci kupujejo in prodajajo nepremičnine ter drug drugemu zaračunavajo najemnino. Čeprav obstajajo družabni in strateški deli igre, igralci premikajo svoje koščke po plošči z valjanjem dveh standardnih šeststranskih kock. Ker to nadzira, kako se igralci gibljejo, je v igri tudi vidik verjetnosti. Če poznamo le nekaj dejstev, lahko izračunamo, kako verjetno je, da pristanete na določene prostore med prvima dvema zavojema na začetku igre.
Kocke
Na vsakem koraku igralec vrže dve kocki in nato premakne svoj kos, ki ima veliko prostora na deski. Zato je koristno pregledati verjetnosti za valjanje dveh kock. Če povzamemo, so možni naslednji zneski:
- Vsota dveh ima verjetnost 1/36.
- Vsota treh ima verjetnost 2/36.
- Vsota štirih ima verjetnost 3/36.
- Vsota pet ima verjetnost 4/36.
- Vsota šestih ima verjetnost 5/36.
- Vsota sedmih ima verjetnost 6/36.
- Vsota osmih ima verjetnost 5/36.
- Vsota devet ima verjetnost 4/36.
- Vsota deset ima verjetnost 3/36.
- Vsota enajstih ima verjetnost 2/36.
- Vsota dvanajstih ima verjetnost 1/36.
Te verjetnosti bodo v nadaljevanju zelo pomembne.
Monopolna igralna plošča
Upoštevati moramo tudi igralno ploščo Monopoly. Okoli igralne plošče je skupno 40 prostorov z 28 od teh lastnosti, železnicami ali pripomočki, ki jih je mogoče kupiti. Šest presledkov vključuje risanje kartice s kupi naključja ali skupnosti. Trije prostori so prosti prostori, v katerih se ne zgodi nič. Dva prostora, ki vključujeta plačilo davka: bodisi dohodnina bodisi davek na luksuz. En prostor pošlje igralca v zapor.
Upoštevali bomo samo prva dva obrata igre Monopoly. V teh zavojih je najbolj oddaljeno, da se dvakrat vrtemo po plošči, dvakrat dvakrat zasučemo in premaknemo 24 prostorov. Tako bomo preučili samo prvih 24 presledkov na tabli. Da so ti prostori:
- Mediteranska avenija
- Komoda
- Baltiška avenija
- Davek na prihodek
- Branje železnic
- Orientalska avenija
- Možnost
- Vermont Avenue
- Davek na Connecticut
- Samo na obisku v zaporu
- St. James Place
- Električna družba
- Državna avenija
- Avenija Virginia
- Železnica v Pensilvaniji
- St. James Place
- Komoda
- Avenija Tennessee
- New York Avenue
- Brezplačno parkiranje
- Kentucky Avenue
- Možnost
- Avenija Indiana
- Avenue Illinois
Prvi zavoj
Prvi zavoj je relativno preprost. Ker imamo verjetnosti za valjanje dveh kock, jih preprosto primerjamo z ustreznimi kvadratki. Na primer, drugi prostor je kovček Skupnost in obstaja 1/36 verjetnosti, da se znebi dva. Tako obstaja 1/36 verjetnosti pristanka na prsni koš prvega zavoja.
Spodaj so verjetnosti pristanka na naslednjih prostorih na prvem zavoju:
- Komoda - 1/36
- Baltiška avenija - 2/36
- Davek od dohodka - 3/36
- Bralna železnica - 4/36
- Orientalska avenija - 5/36
- Možnost - 6/36
- Avenue Vermont - 5/36
- Davek v Connecticutu - 4/36
- Samo obisk zapora - 3/36
- St. James Place - 2/36
- Električna družba - 1/36
Drugi zavoj
Izračun verjetnosti za drugi obrat je nekoliko težji. Na obeh zavojih lahko zavijemo skupaj dva in gremo na najmanj štiri prostore ali skupaj 12 na obeh zavojih in gremo največ 24 presledkov. Dosežemo lahko tudi prostore med štirimi in 24. Toda to je mogoče storiti na različne načine. Na primer, lahko premaknemo skupno sedem presledkov s premikanjem katere koli od naslednjih kombinacij:
- Dva presledka na prvem zavoju in pet presledkov na drugem
- Tri presledke na prvem zavoju in štirje presledki na drugem zavoju
- Štirje presledki na prvem zavoju in trije presledki na drugem
- Pet presledkov na prvem zavoju in dva presledka na drugem
Vse te možnosti moramo upoštevati pri izračunu verjetnosti. Meti vsakega koraka so neodvisni od naslednjega meta. Zato nam ni treba skrbeti pogojna verjetnost, vendar morate samo pomnožiti vsako verjetnost:
- Verjetnost, da se dva in nato pet zvrtata, je (1/36) x (4/36) = 4/1296.
- Verjetnost, da se tri in ena štiri kotalijo, je (2/36) x (3/36) = 6/1296.
- Verjetnost, da se štiri in nato tri premikajo, je (3/36) x (2/36) = 6/1296.
- Verjetnost prevračanja petice in dvojke je (4/36) x (1/36) = 4/1296.
Vzajemno izključujoče pravilo dodajanja
Druge verjetnosti za dva obrata so izračunane na enak način. Za vsak primer moramo samo ugotoviti vse možne načine, kako pridobiti skupno vsoto, ki ustreza kvadratu igralne plošče. Spodaj so verjetnosti (zaokrožene na najbližjo stotino odstotkov) pristanka na naslednjih prostorih na prvem zavoju:
- Davek od dohodka - 0,08%
- Železnica za branje - 0,31%
- Orientalska avenija - 0,77%
- Možnost - 1,54%
- Avenue Vermont - 2,70%
- Davek v Connecticutu - 4,32%
- Samo obisk zapora - 6,17%
- St. James Place - 8,02%
- Električna družba - 9,65%
- Državna avenija - 10,80%
- Avenue Virginia - 11,27%
- Železnica v Pensilvaniji - 10,80%
- St. James Place - 9,65%
- Skupnost skrinje - 8,02%
- Avenue Tennessee 6,17%
- New York Avenue 4.32%
- Brezplačno parkiranje - 2,70%
- Kentucky Avenue - 1,54%
- Možnost - 0,77%
- Avenue Indiana - 0,31%
- Avenue Illinois - 0,08%
Več kot tri obrate
Za več zavojev situacija postane še težja. Eden od razlogov je, da v pravilih igre, če se trikrat zapored vržemo dvojno, gremo v zapor. To pravilo bo vplivalo na naše verjetnosti na načine, ki jih prej nismo morali upoštevati. Poleg tega pravila obstajajo učinki, ki jih prinašajo kartice naključja in prsnega koša, o katerih ne razmišljamo. Nekatere od teh kart usmerjajo igralce, da preskočijo presledke in se odpravijo neposredno v določene prostore.
Zaradi večje računalniške zapletenosti je lažje izračunati verjetnosti za več kot le nekaj zavojev z uporabo metod Monte Monte. Računalniki lahko simulirajo na stotine tisoč, če ne na milijone iger Monopola, in verjetnosti pristanka na vsak prostor je mogoče izračunati empirično iz teh iger.