Verjetnost naključnega izbora prvega števila

Teorija števil je veja matematika ki se nanaša na množico celih števil. S tem se nekoliko omejimo, saj drugih številk, na primer iracionalnih, ne preučujemo neposredno. Vendar pa druge vrste realne številke so uporabljeni. Poleg tega ima predmet verjetnosti veliko povezav in presečišč s teorijo števil. Ena od teh povezav je povezana z distribucijo praštevila. Natančneje se lahko vprašamo, kakšna je verjetnost, da je naključno izbrano celo število od 1 do x je glavna številka?

Kot pri vsaki matematični težavi je treba razumeti ne le, kakšne predpostavke so, temveč tudi opredelitve vseh ključnih izrazov v problemu. Za to težavo razmišljamo o pozitivnih celih številih, kar pomeni celotna števila 1, 2, 3,... do neke številke x. Naključno izberemo eno od teh številk, kar pomeni, da vse x med njimi je enaka verjetnost, da bodo izbrani.

Poskušamo ugotoviti verjetnost, da je izbrano prvo število. Zato moramo razumeti definicijo preprostega števila. Preštevilčno število je pozitivno celo število, ki ima točno dva dejavnika. To pomeni, da sta edina delitev pravih števil ena in število samo. 2,3 in 5 sta primera, 4, 8 in 12 pa nista primeren. Opozarjamo, da morata biti številka 1, ker morata biti dve dejavniki v preprostem številu

Za nizke številke je rešitev tega problema preprosta x. Vse, kar moramo storiti, je preprosto prešteti število primerov, ki so manjši ali enaki x. Število primerov delimo na manj ali enako x po številu x.

Na primer, če želimo najti verjetnost, da je primež izbran med 1 in 10, moramo število praštevil od 1 do 10 razdeliti na 10. Števila 2, 3, 5, 7 so glavna, zato je verjetnost, da je izbran prime, 4/10 = 40%.

Verjetnost, da je primera izbrana med 1 in 50, je mogoče najti na podoben način. Primeri, ki so manjši od 50, so: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 in 47. 15 primerov je manj kot 50. Tako je verjetnost, da se prime izbere naključno, 15/50 = 30%.

Ta postopek lahko izvedemo s preprostim štetjem primerov, dokler imamo seznam praštevilk. Na primer, 25 primerov je manj kot 100. (Tako je verjetnost, da je naključno izbrano število od 1 do 100 prvo, 25/100 = 25%.) Vendar, če nimamo seznama od praštevil, bi bilo mogoče računalniško zaznati določitev nabora pravih števil, ki so dani ali manjši od danega številka x.

Če ne štejete števila primerov, ki so manjši ali enaki x, potem obstaja drug način reševanja te težave. Rešitev vključuje matematični rezultat, znan kot izrek primarnega števila. To je izjava o celotni porazdelitvi praštevil in jih lahko uporabimo za približevanje verjetnosti, ki jo poskušamo ugotoviti.

Teorem o primarnem številu pravi, da jih obstaja približno x / ln (x) osnovne številke, ki so manjše ali enake x. Tukaj ln (x) označuje naravni logaritem xali z drugimi besedami logaritem z osnovo število e. Kot vrednost x poveča se približek izboljša, v smislu, da opazimo zmanjšanje relativne napake med številom praštev manj kot x in izraz x / ln (x).

Rezultat izrek teorema o številu lahko uporabimo za rešitev problema, ki ga poskušamo obravnavati. Po teoremu preprostega števila vemo, da jih je približno x / ln (x) osnovne številke, ki so manjše ali enake x. Poleg tega jih je skupaj x pozitivna cela števila, manjša ali enaka x. Zato je verjetnost, da je naključno izbrana številka v tem območju glavna (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Zdaj lahko s pomočjo tega rezultata približamo verjetnost, da naključno izberemo prvo število od prvega milijarda celih števil. Izračunamo naravni logaritem milijardo in vidimo, da je ln (1,000,000,000) približno 20,7, 1 / ln (1,000,000,000) pa približno 0,0483. Tako imamo približno 4,83% verjetnost, da naključno izberemo prvo število od prve milijarde celih števil.