Yahtzee je igra s kockami, ki uporablja pet standardnih šeststranskih kock. Na vsakem koraku so podani igralci trije zvitki za dosego več različnih ciljev. Po vsakem prevajanju se lahko igralec odloči, katero od kock (če obstaja) bo obdržati in katere je treba izvesti. Cilji vključujejo najrazličnejše kombinacije, med katerimi so številne vzete s pokra. Vsaka različna kombinacija je vredna različne točke.
Poziva se dve vrsti kombinacij, ki jih morajo igralci zviti naravnost: majhna ravna in velika ravna. Kot kombinacije v pokru so tudi te kombinacije sestavljene iz zaporednih kock. Majhne ravne zaposlujejo štiri od petih kock in velike pramene uporabite vseh pet kock. Zaradi naključnosti valjanja kock je verjetnost mogoče uporabiti za analizo, kako verjetno je, da se v enem zvitku vrti majhna naravnost.
Predpostavke
Predvidevamo, da so uporabljene kocke pravične in neodvisne druga od druge. Tako je enoten prostor za vzorce sestavljen iz vseh možnih zvitkov petih kock. Čeprav Jahtzee omogoča tri zvitke, za preprostost bomo upoštevali le primer, če dobimo majhno naravnost v enem samem zvitku.
Vzorec prostora
Ker sodelujemo z a enotnavzorčni prostor, izračun naše verjetnosti postane izračun nekaj težav s štetjem. Verjetnost majhne ravne je število načinov, da se majhna ravnina zvrne, deljeno s številom izidov v vzorčnem prostoru.
Zelo enostavno je prešteti število rezultatov v vzorčnem prostoru. Navržemo pet kock in vsaka od teh kock ima lahko enega od šestih različnih rezultatov. Osnovna uporaba načela množenja nam pove, da ima vzorec prostora 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776 izidov. Ta številka bo imenovalec ulomkov, ki jih uporabljamo za svojo verjetnost.
Število ravnih
Nato moramo vedeti, na kakšen način obstaja majhna naravnost. To je težje kot izračunati velikost vzorčnega prostora. Začnemo s štetjem, koliko pravih je možnih.
Majhno ravno je lažje valjati kot veliko ravno, vendar je težje šteti število načinov valjanja te vrste ravne. Majhna ravnina je sestavljena iz točno štirih zaporednih števil. Ker obstaja šest različnih obrazov matrice, obstajajo tri možne majhne ravnine: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} in {3, 4, 5, 6}. Težava nastopi pri premisleku, kaj se zgodi s petim matricam. V vsakem od teh primerov mora biti peta matrica številka, ki ne ustvarja velike ravni. Na primer, če bi bili prvi štirje kocki 1, 2, 3 in 4, bi lahko peta matra bila kaj drugega kot 5. Če bi bil peti diete 5, bi imeli veliko ravno in ne majhno.
To pomeni, da obstaja pet možnih zvitkov, ki dajejo majhni naravnost {1, 2, 3, 4}, pet možnih zvitki, ki dajejo majhne ravne {3, 4, 5, 6} in štiri možne zvitke, ki dajejo majhne naravnost {2, 3, 4, 5}. Zadnji primer je drugačen, ker se bo z valjanjem 1 ali 6 za peti matriček {2, 3, 4, 5} spremenilo v veliko ravno. To pomeni, da obstaja 14 različnih načinov, na katere nam lahko pet kock daje majhno pot.
Zdaj določimo različno število načinov za valjanje določenega niza kock, ki nam da naravnost. Ker moramo le vedeti, koliko načinov za to lahko storimo, lahko uporabimo nekaj osnovnih tehnik štetja.
Od 14 različnih načinov pridobivanja majhnih pramenov sta le dva od teh {1,2,3,4,6} in {1,3,4,5,6} kompleta z različnimi elementi. Obstaja 5! = 120 načinov valjanja vsakega skupaj 2 x 5! = 240 majhnih pramenov.
Ostalih 12 načinov, kako imeti majhno raven, je tehnično večnastavnih, saj vsebujejo ponavljajoč se element. Za en določen večnamenski stol, kot je [1,1,2,3,4], bomo šteli število različnih načinov tega. Pomislite na kocke kot na pet položajev zapored:
- Obstaja C (5,2) = 10 načinov za namestitev obeh ponovljenih elementov med pet kock.
- Obstajajo 3! = 6 načinov ureditve treh različnih elementov.
Po načelu množenja obstaja 6 x 10 = 60 različnih načinov valjanja kock 1,1,2,3,4 v enem kolutu.
Obstaja 60 načinov, kako eno tako majhno vrteti s to peto ploščo. Ker je 12 večnamenskih skupin, ki dajejo različne kocke petih kock, obstaja 60 x 12 = 720 načinov, da se majhna naravnost vrti, v kateri se ujemata dva kocka.
Skupaj jih je 2 x 5! + 12 x 60 = 960 načinov rolanja majhne ravne.
Verjetnost
Zdaj je verjetnost, da se kotuje majhna naravnost, preprost izračun delitve. Ker obstaja 960 različnih načinov, kako majhno naravnost zviti v enem zvitku in obstaja 7776 zvitkov možnih je pet kock, verjetnost, da se bo valjala majhna ravnina, je 960/7776, kar je blizu 1/8 in 12.3%.
Seveda je bolj verjetno, kot da prvi zvitek ni ravno. Če je temu tako, potem nam dovolijo še dva zvitka, ki naredijo majhen naravnost veliko bolj verjetno. Verjetnost tega je veliko bolj zapleteno določiti zaradi vseh možnih situacij, ki bi jih bilo treba upoštevati.