Verjetnost združitve 3 ali več sklopov

Ko sta dva dogodka medsebojno izključujeta, verjetnost njihovega zveza se lahko izračuna s pravilo dodajanja. Vemo, da je za valjanje matrice valjanje števila, večjega od štirih ali števil manj kot treh, medsebojno izključujoči dogodki, ki nimajo nič skupnega. Torej, da bi ugotovili verjetnost tega dogodka, preprosto dodamo verjetnost, da smo število, ki je večje od štiri, vrnemo na verjetnost, da smo število, ki je manjši od treh. V simbolih imamo naslednje, kje prestolnica P pomeni "verjetnost":

P(več kot štiri ali manj kot tri) = P(večja od štirih) + P(manj kot tri) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Če so dogodki ne medsebojno izključujoče, potem verjetnosti dogodkov ne preprosto seštevamo, ampak moramo odšteti verjetnost dogodkov križišče dogodkov. Glede na dogajanje A in B:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Tu upoštevamo možnost dvojnega štetja tistih elementov, ki so v obeh A in Bin zato odštejemo verjetnost križišča.

Vprašanje, ki iz tega izhaja, je: »Zakaj bi se ustavili z dvema sklopoma? Kakšna je verjetnost združitve več kot dveh nizov? "

Zgornje ideje bomo razširili na situacijo, ko imamo tri sklope, ki jih bomo označili A, B, in C. Ne bomo domnevali ničesar več kot to, zato obstaja možnost, da imajo seti neprazno križišče. Cilj bo izračunati verjetnost zveze teh treh sklopov, ali P (A U B U C).

Zgornja razprava za dva sklopa še vedno velja. Verjetnosti posameznih nizov lahko seštejemo A, B, in C, vendar smo pri tem dvakrat šteli nekatere elemente.

Elementi v presečišču A in B so bili dvakrat šteti kot prej, zdaj pa obstajajo drugi elementi, ki so jih potencialno šteli dvakrat. Elementi v presečišču A in C in v križišču B in C so zdaj šteli tudi dvakrat. Torej verjetnosti od teh križišč je treba tudi odšteti.

A smo odšteli preveč? Nekaj ​​novega je treba upoštevati, da nam ni bilo treba skrbeti, ko sta bila samo dva niza. Tako kot lahko imata vsa dva niza križišče, lahko tudi vsi trije presečišče. Skušali smo se prepričati, da nismo ničesar prešteli, sploh nismo šteli tistih elementov, ki se pojavljajo v vseh treh sklopih. Torej je treba spet dodati verjetnost presečišča vseh treh nizov.

Tu je formula, ki izhaja iz zgornje razprave:

P (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Če želite videti formulo verjetnosti združitve treh nizov, predpostavimo, da igramo družabno igro, ki vključuje valjanje dveh kock. Zaradi pravil igre moramo dobiti vsaj eno matrico, da bomo dve, tri ali štiri zmagali. Kakšna je verjetnost tega? Opažamo, da poskušamo izračunati verjetnost združitve treh dogodkov: valjanja vsaj enega dva, valjanja vsaj enega treh, valjanja vsaj enega štiriga. Zgornjo formulo lahko torej uporabimo z naslednjimi verjetnostmi:

• Verjetnost kotalke dvojice je 11/36. Številka tu izhaja iz dejstva, da obstaja šest izidov, pri katerih je prvi dieta dva, šest, pri čemer je drugi umre dvoje, en izid pa, ko sta oba kocka dva. Tako dobimo 6 + 6 - 1 = 11.
• Verjetnost premikanja trojice je 11/36 iz istega razloga kot zgoraj.
• Verjetnost prevračanja štirice je 11/36 iz istega razloga kot zgoraj.
• Verjetnost prevračanja dvojice in trojke je 2/36. Tu lahko preprosto naštejemo možnosti, dve bi lahko prišli prvi ali bi lahko prišli drugi.
• Verjetnost prevračanja dvojice in štirice je 2/36, iz istega razloga, da je verjetnost dvojice in četvorke 2/36.
• Verjetnost, da se dva, tri in štiri valjajo, je 0, ker smo samo dva kocka in ne moremo dobiti treh številk z dvema kockama.

Zdaj uporabljamo formulo in vidimo, da obstaja verjetnost, da bomo dobili vsaj dva, tri ali štiri

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Razlog, da ima formula verjetnosti združitve štirih nizov obliko, je podoben sklepu za formulo za tri sklope. Ko se število sklopov povečuje, se poveča tudi število parov, trojčkov in tako naprej. S štirimi nizi je šest odsečnih križišč, ki jih je treba odšteti, štiri trojna križišča, ki jih je treba dodati nazaj, in zdaj je štirikratno križišče, ki ga je treba odšteti. Glede na štiri sklope A, B, C in D, formula za združitev teh nizov je naslednja:

P (A U B U C U D) = P(A) + P(B) + P(C) +P(D) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(A ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ D) + P(A ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(A ∩ B ∩ C ∩ D).

Lahko bi napisali formule (ki bi bile videti še bolj strašne kot zgoraj) za verjetnost združitve več kot štirih nizov, vendar bi morali pri preučevanju zgornjih formul opaziti nekaj vzorcev. Ti vzorci veljajo za izračun zvez v več kot štirih nizih. Verjetnost združitve poljubnega števila nizov je naslednja:

1. Dodajte verjetnosti posameznih dogodkov.
2. Odštejte verjetnosti križišč vsakega para dogodkov.
3. Dodajte verjetnosti presečišča vsakega niza treh dogodkov.
4. Odštejemo verjetnosti presečišča vsakega niza štirih dogodkov.
5. Nadaljujte s tem postopkom, dokler zadnja verjetnost ni verjetnost presečišča skupnega števila nizov, s katerim smo začeli.