Razumevanje enakovrednih enačb v algebri

Ekvivalentne enačbe so sistemi enačb, ki imajo enake rešitve. Prepoznavanje in reševanje enakovrednih enačb je dragocena spretnost, ne samo v razred algebre pa tudi v vsakdanjem življenju. Oglejte si primere enakovrednih enačb, kako jih rešiti za eno ali več spremenljivk in kako lahko to veščino uporabljate zunaj učilnice.

Ključni odvzemi

Najpreprostejši primeri enakovrednih enačb nimajo spremenljivk. Te tri enačbe so na primer enakovredne:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Priznavanje teh enačb je enakovredno, vendar ni posebej koristno. Ponavadi vas enakovredna enačba zahteva, da se odločite za spremenljivko in preverite, ali je enaka (enaka koren) kot ena v drugi enačbi.

Na primer, naslednje enačbe so enakovredne:

• x = 5
• -2x = -10

V obeh primerih je x = 5. Kako to vemo? Kako to rešite za enačbo "-2x = -10"? Prvi korak je poznavanje pravil enakovrednih enačb:

• Dodajanje ali če odštejemo isto število ali izraz na obeh straneh enačbe, dobimo enakovredno enačbo.
• Če množimo ali delimo obe strani enačbe z istim ničelnim številom, dobimo enakovredno enačbo.
• Dvig obeh strani enačbe na enaka nenavadna moč ali če vzamemo isti koren, bo enakovredna enačba.
• Če sta obe strani enačbe ne-negativno, dvig obeh strani enačbe na enako enakomerno moč ali enak enakomeren koren bo enakovreden enačbi.

Če uporabimo ta pravila v praksi, ugotovimo, ali sta ti dve enačbi enakovredni:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Če želite to rešiti, morate za vsakega najti "x" enačba. Če je "x" enak za obe enačbi, potem sta enakovredna. Če je "x" drugačen (tj. Enačbe imajo različne korenine), potem enačbe niso enakovredne. Za prvo enačbo:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (odštevanje obeh strani po istem številu)
• x = 5

Za drugo enačbo:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (odštevanje obeh strani po istem številu)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (deljenje obeh strani enačbe z istim številom)
• x = 5

Torej, ja, obe enačbi sta enakovredni, ker je x = 5 v vsakem primeru.

V vsakdanjem življenju lahko uporabite enakovredne enačbe. Še posebej je koristno pri nakupovanju. Na primer, všeč vam je določena majica. Eno podjetje ponuja srajco za 6 dolarjev in 12 USD doplačilo, drugo podjetje pa srajco za 7,50 USD in pošiljanje 9 dolarjev. Katera majica ima najugodnejšo ceno? Koliko srajc (morda jih želite dobiti za prijatelje) bi morali kupiti, da bi bila cena enaka za obe podjetji?

Če želite rešiti to težavo, naj bo "x" število srajc. Za začetek nastavite x = 1 za nakup ene majice. Za podjetje št. 1:

• Cena = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 USD

Za podjetje št. 2:

• Cena = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 USD

Če torej kupujete eno majico, vam drugo podjetje ponuja ugodnejšo ponudbo.

Če želite najti točko, ko so cene enake, naj "x" ostane število majic, a enačbi postavite obe enačbi. Odločite se za "x" in poiščite, koliko majic bi morali kupiti:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 (odštevanje enake številke ali izrazi z vsake strani)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (deljenje obeh strani z istim številom, -1)
• x = 3 / 1,5 (deljenje obeh strani z 1,5)
• x = 2

Če kupite dve majici, je cena enaka, ne glede na to, kje jo dobite. Z isto matematiko lahko določite, katero podjetje vam daje boljšo ponudbo pri večjih naročilih in tudi za izračun, koliko boste prihranili z uporabo enega podjetja nad drugim. Glej, algebra je uporabna!

Če imate dve enačbi in dve neznani (x in y), lahko ugotovite, ali sta dva niza linearnih enačb enakovredna.

Na primer, če imate enačbe:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Ugotovite lahko, ali je naslednji sistem enakovreden:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Do reši to težavo, poiščite "x" in "y" za vsak sistem enačb. Če so vrednosti enake, so sistemi enačb enakovredni.

Začnite s prvim nizom. Za rešitev dveh enačbe z dvema spremenljivk, izolirajte eno spremenljivko in njeno raztopino priključite v drugo enačbo. Če želite izolirati spremenljivko "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12y
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (vstavite za "x" v drugi enačbi)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Zdaj priključite "y" nazaj v katero koli enačbo, da rešite za "x":

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Če to rešite, boste na koncu dobili x = 7/3.

Da odgovorim na vprašanje, ti bi lahko uporabite enaka načela za drugi niz enačb, če želite rešiti za "x" in "y", da ugotovite, da, res sta enakovredna. V algebri se enostavno zataknete, zato je dobro, da svoje delo preverite s pomočjo spletna enačba reševalec.

Vendar bo pameten učenec opazil, da sta dva niza enačb enakovredna ne da bi sploh delali težke izračune. Edina razlika med prvo enačbo v vsakem nizu je, da je prva trikrat večja od druge (enakovredna). Druga enačba je popolnoma enaka.