Kaj je paradoks Sankt Peterburga?

Ste na ulicah Sankt Peterburga v Rusiji in stari mož predlaga naslednjo igro. Odvrne kovanec (izposodil si bo enega, če ne verjamete, da je pravičen). Če pride do repov, potem izgubite in igra je končana. Če kovanec pristane, boste osvojili en rubelj in igra se nadaljuje. Kovanec se spet vrže. Če gre za repove, potem se igra konča. Če gre za glave, potem dobite dodatna dva rublja. Igra se nadaljuje na ta način. Za vsako zaporedno glavo podvojimo svoj dobitek iz prejšnjega kroga, a na znak prvega repa se igra konča.

Koliko bi plačali za igranje te igre? Ko upoštevamo pričakovana vrednost te igre, morate skočiti na priložnost, ne glede na to, kakšne stroške je igrati. Vendar iz zgornjega opisa verjetno ne bi bili pripravljeni plačati veliko. Navsezadnje obstaja 50-odstotna verjetnost, da ne boste ničesar osvojili. To je tisto, kar je znano kot St. Komentarji cesarske akademije znanosti v Sankt Peterburgu.

Začnimo z izračunom verjetnosti povezana s to igro. Verjetnost, da pošten kovanec pristane, je 1/2. Vsak metanje kovancev je neodvisen dogodek, zato množimo verjetnosti po možnosti z uporabo a

• Verjetnost dveh glav v vrsti je (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Verjetnost treh glav v vrsti je (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Za izražanje verjetnosti n glave v vrsti, kam n je pozitivno celo število, ki ga uporabljamo eksponenti za pisanje 1/2ⁿ.

Zdaj pa pojdimo naprej in poglejmo, ali lahko posplošimo, kakšne bi bile dobitke v vsakem krogu.

• Če imate glavo v prvem krogu, osvojite en rubelj za ta krog.
• Če imate glavo v drugem krogu, v tem krogu dobite dva rublja.
• Če je v tretjem krogu glava, potem v tem krogu dobite štiri rublje.
• Če ste imeli srečo, da ste prišli vse do n^th krogu, potem boste osvojili 2^n-1 rubljev v tem krogu.

Pričakovana vrednost igre nam pove, kakšen bi bil povprečni dobitek, če bi igro igrali veliko, večkrat. Za izračun pričakovane vrednosti pomnožimo vrednost dobitkov iz vsakega kroga z verjetnostjo, da se bomo uvrstili v ta krog in nato sešteli vse te izdelke skupaj.

• Od prvega kroga imate verjetnost 1/2 in dobitke 1 rubelj: 1/2 x 1 = 1/2
• Od drugega kroga imate verjetnost 1/4 in dobitek 2 rubljev: 1/4 x 2 = 1/2
• Od prvega kroga imate verjetnost 1/8 in dobitek 4 rublje: 1/8 x 4 = 1/2
• Od prvega kroga imate verjetnost 1/16 in dobitek 8 rubljev: 1/16 x 8 = 1/2
• Od prvega kroga imate verjetnost 1/2ⁿ in dobitki 2^n-1 rubljev: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Vrednost vsakega kroga je 1/2, pri čemer se dodajo rezultati iz prvega n krog skupaj prinaša pričakovano vrednost n/ 2 rubljev. Od n je lahko poljubno pozitivno celo število, pričakovana vrednost je neomejena.

Torej, kaj bi morali plačati za igranje? Rubelj, tisoč rubljev ali celo a milijarda rubljev bi bilo dolgoročno manj od pričakovane vrednosti. Kljub zgornjem izračunu, ki obeta neizkoriščeno bogastvo, vsi še vedno neradi plačujemo zelo veliko za igranje.

Obstajajo številni načini, kako razrešiti paradoks. Eden izmed bolj preprostih načinov je, da nihče ne bi ponudil igre, kakršna je bila zgoraj opisana. Nihče nima neskončnih virov, ki bi jih potrebovali, da bi plačali nekomu, ki je še naprej vrtel glavo.

Drugi način reševanja paradoksa vključuje opozarjanje na to, kako neverjetno je dobiti nekaj, kot je 20 glav zapored. The kvote dogajanje je boljše kot zmaga v večini države loterije. Ljudje rutinsko igrajo takšne loterije za pet dolarjev ali manj. Torej cena za igranje igre v Sankt Peterburgu najbrž ne sme presegati nekaj dolarjev.

Če moški noter St. Petersburg pravi, da bo za igranje njegove igre stalo kaj več kot nekaj rubljev, vljudno bi morali zavrniti in oditi. Rublja tako ali tako ni vredno veliko