Kakšni so trenutki v statistiki?

Trenutki matematične statistike vključujejo osnovni izračun. Ti izračuni se lahko uporabijo za iskanje povprečja, variance in naklonosti porazdelitve verjetnosti.

Recimo, da imamo nabor podatkov s skupno ndiskretna točk. Pomemben izračun, ki je pravzaprav več številk, se imenuje sta trenutek The sth trenutka nabora podatkov z vrednostmi x₁, x₂, x₃,..., x_n je podana s formulo:

(x₁^s + x₂^s + x₃^s +... + x_n^s)/n

Z uporabo te formule moramo biti previdni pri svojem vrstnem redu poslovanja. Najprej moramo narediti eksponente, jih dodati, nato pa to vsoto razdeliti s n skupno število podatkovnih vrednosti.

Izraz trenutek je bilo vzeto iz fizike. V fiziki se moment sistema točkovnih mas izračuna s formulo, ki je enaka zgornji, in ta formula se uporablja pri iskanju središča mase točk. V statistiki vrednosti niso več množice, toda kot bomo videli, trenutki v statistiki še vedno merijo nekaj glede na središče vrednosti.

Za prvi trenutek smo se postavili s = 1. Formula prvega trenutka je torej:

(x₁x₂ + x₃ +... + x_n)/n

To je identično formuli za vzorec pomeni.

Prvi trenutek vrednosti 1, 3, 6, 10 je (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

Za drugi trenutek smo se postavili s = 2. Formula drugega trenutka je:

(x₁² + x₂² + x₃² +... + x_n²)/n

Drugi moment vrednosti 1, 3, 6, 10 je (1² + 3² + 6² + 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.

Za tretji trenutek smo se postavili s = 3. Tretji trenutek je formula:

(x₁³ + x₂³ + x₃³ +... + x_n³)/n

Tretji trenutek vrednosti 1, 3, 6, 10 je (1³ + 3³ + 6³ + 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

Višje trenutke je mogoče izračunati na podoben način. Samo zamenjajte s v zgornji formuli s številko, ki označuje želeni trenutek.

Povezana ideja je ideja o sTretji trenutek o srednji vrednosti. V tem izračunu izvedemo naslednje korake:

1. Najprej izračunajte srednjo vrednost.
2. Nato od vsake vrednosti odštejte to vrednost.
3. Nato vsako od teh razlik povišajte na sth moč.
4. Zdaj skupaj dodajte številke iz koraka # 3.
5. Na koncu delimo to vsoto s številom vrednosti, s katerimi smo začeli.

Formula za sTretji trenutek o srednji vrednosti m vrednosti vrednosti x₁, x₂, x₃,..., x_n poda:

m_s = ((x₁ - m)^s + (x₂ - m)^s + (x₃ - m)^s +... + (x_n - m)^s)/n

Prvi trenutek povprečne vrednosti je vedno enak nič, ne glede na to, s kakšnim naborom podatkov sodelujemo. To je razvidno iz naslednjega:

m₁ = ((x₁ - m) + (x₂ - m) + (x₃ - m) +... + (x_n - m))/n = ((x₁+ x₂ + x₃ +... + x_n) - nm)/n = m - m = 0.

Iz zgornje formule z nastavitvijo dobimo drugi trenutek o srednji vrednostis = 2:

m₂ = ((x₁ - m)² + (x₂ - m)² + (x₃ - m)² +... + (x_n - m)²)/n

Ta formula je enakovredna formuli za odstopanje vzorca.

Na primer, upoštevajte množice 1, 3, 6, 10. Srednjo vrednost tega sklopa smo že izračunali na 5. Odštejte to od vsake vrednosti podatkov, da dobite razlike:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

Vsako od teh vrednosti razdelimo in jih seštejemo: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Na koncu to številko razdelite s številom podatkovnih točk: 46/4 = 11.5

Kot je bilo omenjeno zgoraj, je prvi trenutek povprečje, drugi trenutek pa povprečje variance. Karl Pearson je predstavil uporabo tretjega trenutka o povprečju pri izračunu poševnost in četrti trenutek o povprečni vrednosti izračuna kurtoza.