Chuck-a-Luck je igra na srečo. Tri kocke so valjani, včasih v žičnem okvirju. Zaradi tega okvira se ta igra imenuje tudi birdcage. Ta igra je pogosteje videti v pustnih karnevalih in ne v igralnicah. Vendar lahko zaradi uporabe naključnih kock verjetnost uporabimo za analizo te igre. Natančneje lahko izračunamo pričakovano vrednost te igre.
Stave
Stavite lahko več vrst stav. Upoštevali bomo samo stavo z eno samo številko. Na tej stavi preprosto izberemo določeno številko od ena do šest. Nato kockice razvaljamo. Razmislite o možnostih. Vse kocke, po dve, ena ali nobena, ne bi mogla pokazati številke, ki smo jo izbrali.
Predpostavimo, da bo ta igra plačala naslednje:
- 3 $, če se vse tri kocke ujemajo z izbrano številko.
- 2 $, če se natančno dve kocki ujemata z izbrano številko.
- $ 1, če se točno ena od kock ujema z izbrano številko.
Če nobeden od kock ne ustreza izbrani številki, moramo plačati 1 dolar.
Kakšna je pričakovana vrednost te igre? Z drugimi besedami, na dolgi rok bi v povprečju pričakovali, da bomo zmagali ali izgubili, če bi to igro večkrat igrali?
Verjetnosti
Za iskanje pričakovane vrednosti te igre moramo določiti štiri verjetnosti. Te verjetnosti ustrezajo štirim možnim rezultatom. Opažamo, da je vsak um neodvisen od ostalih. Zaradi te neodvisnosti uporabljamo pravilo množenja. To nam bo pomagalo pri določanju števila rezultatov.
Predvidevamo tudi, da so kocke poštene. Vsaka od šestih strani na vsaki od treh kock je enako verjetno, da se bodo valjali.
Pri valjanju teh treh kock je 6 x 6 x 6 = 216 možnih rezultatov. Ta številka bo imenovalec za vse naše verjetnosti.
Obstaja en način za uskladitev vseh treh kock z izbrano številko.
Obstaja pet načinov, da se en sam umrlec ne ujema z našo izbrano številko. To pomeni, da obstaja 5 x 5 x 5 = 125 načinov, da se nobena od naših kock ne ujema z izbrano številko.
Če upoštevamo natanko dva od ujemanja kock, potem imamo eno matrico, ki se ne ujema.
- Obstaja 1 x 1 x 5 = 5 načinov, da se prva dva kocka ujemata z našo številko, tretji pa da je drugačen.
- Obstajata 1 x 5 x 1 = 5 načinov za usklajevanje prve in tretje kocke, pri čemer je drugačna.
- Obstaja 5 x 1 x 1 = 5 načinov, kako se prvi matri razlikujeta, drugi in tretji pa se ujemata.
To pomeni, da obstaja skupaj 15 načinov, kako se lahko ujemata točno dva kocka.
Zdaj smo izračunali število načinov, kako doseči vse svoje rezultate razen enega. Na voljo je 216 zvitkov. Zabeležili smo jih 1 + 15 + 125 = 141. To pomeni, da jih je ostalo 216 -141 = 75.
Zberemo vse zgoraj navedene podatke in si oglejmo:
- Verjetnost, da se naša številka ujema z vsemi tremi kockami, je 1/216.
- Verjetnost, da se naša številka ujema s točno dvema kockama, je 15/216.
- Verjetnost, da se naše število ujema s točno enim umrenjem, je 75/216.
- Verjetnost, da se naša številka ujema z nobeno kocko, je 125/216.
Pričakovana vrednost
Zdaj smo pripravljeni izračunati pričakovana vrednost te situacije. The formula za pričakovano vrednost zahteva, da verjetnost vsakega dogodka pomnožimo z neto dobičkom ali izgubo, če se dogodek zgodi. Nato vse te izdelke dodamo skupaj.
Izračun pričakovane vrednosti je naslednji:
(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216
To je približno - 0,08 USD. Razlaga je, da če bi to igro večkrat igrali, bi v povprečju izgubili 8 centov vsakič, ko bi se igrali.