Kako se kombinacije in permutacije razlikujejo

Skozi matematiko in statistiko moramo znati šteti. To še posebej velja za nekatere verjetnost težave. Recimo, da nam je dano skupno n različne predmete in jih želite izbrati r izmed njih. To se dotika neposredno področja matematike, znanega kot kombinatorika, ki je študij štetja. Dva glavna načina za njihovo štetje r predmeti iz n elementi se imenujejo permutacije in kombinacije. Ti pojmi so med seboj tesno povezani in jih je enostavno zamenjati.

Kakšna je razlika med kombinacijo in permutacijo? Ključna ideja je red. Permutacija je pozorna na vrstni red, ki ga izberemo za svoje predmete. Isti sklop predmetov, vendar posnet v drugačnem vrstnem redu, nam bo dal drugačna permutacija. S kombinacijo še vedno izberemo r predmeti od skupaj n, vendar se naročilo ne upošteva več.

Za razlikovanje med temi idejami bomo upoštevali naslednji primer: koliko permutacij sta dve črki iz niza {a, b, c}?

Tukaj navajamo vse pare elementov iz danega niza, pri tem pa ves čas pozorni na naročilo. Skupno je šest permutacij. Seznam vseh teh je: ab, ba, bc, cb, ac in ca. Upoštevajte, da kot permutacije

Zdaj bomo odgovorili na naslednje vprašanje: koliko kombinacij sta dve črki iz niza {a, b, c}?

Ker imamo opravka s kombinacijami, nam ni več mar za naročilo. To težavo lahko rešimo tako, da pogledamo na permutacije in nato izločimo tiste, ki vključujejo iste črke. Kot kombinacije oz. ab in ba veljajo za enake. Tako obstajajo samo tri kombinacije: ab, ac in bc.

Pri situacijah, na katere naletimo na večje sklope, je preveč zamudno, da bi našteli vse možne permutacije ali kombinacije in prešteli končni rezultat. Na srečo obstajajo formule, ki nam dajo število permutacij ali kombinacij n odvzeti predmeti r ob času.

V teh formulah uporabljamo skrajšano oznako n! klical nfaktografski. V tovarni preprosto piše, da pomnožijo vsa pozitivna cela števila, manjša ali enaka n skupaj. Tako na primer 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Po definiciji 0! = 1.

Število permutacij v n odvzeti predmeti r naenkrat je podana formula:

P(n,r) = n!/(n - r)!

Število kombinacij n odvzeti predmeti r naenkrat je podana formula:

C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]

Če si želite ogledati formule v delu, si oglejmo začetni primer. Število permutacij niza treh predmetov, vzetih dva naenkrat, je dano s P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. To ustreza natančno tistemu, kar smo dobili s seznamom vseh permutacij.

Število kombinacij niza treh predmetov, vzetih dva naenkrat, je dano:

C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Ponovno se to ujema s tistim, kar smo videli prej.

Formule vsekakor prihranijo čas, ko bomo morali poiskati število permutacij večjega niza. Na primer, koliko permutacij je nabor desetih predmetov, odvzetih po tri? Nekaj ​​časa bi našteli vse permutacije, toda s formulami vidimo, da obstaja:

P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutacij.

Kakšna je razlika med permutacijami in kombinacijami? Izhodišče je, da je treba pri štetju situacij, ki vključujejo naročilo, uporabiti permutacije. Če vrstni red ni pomemben, je treba uporabiti kombinacije.