Opredelitev in uporaba zveze v matematiki

Ena operacija, ki se pogosto uporablja za oblikovanje novih nizov iz starih, se imenuje zveza. Besedna zveza v običajni uporabi pomeni združevanje, na primer sindikati v organizirani delovni sili ali Država Unije naslov, ki ga je ZDA Predsednik pred skupnim zasedanjem Kongresa. V matematičnem smislu združitev dveh nizov ohranja to idejo združevanja. Natančneje, združitev dveh sklopov A in B je nabor vseh elementov x taka, da x je element nabora A ali x je element nabora B. Beseda, ki pomeni, da uporabljamo zvezo, je beseda "ali".

Ko v vsakodnevnih pogovorih uporabljamo besedo "ali", se morda ne zavedamo, da se ta beseda uporablja na dva različna načina. Način običajno izhaja iz konteksta pogovora. Če bi vas vprašali "Bi radi piščanec ali zrezek?" običajna posledica je, da imate lahko eno ali drugo, ne pa obojega. S tem primerjajte z vprašanjem: "Bi radi maslo ali kislo smetano na svojem pečenem krompirju?" Tu je "ali" je uporabljeno v vključujočem pomenu, da ste lahko izbrali samo maslo, samo kislo smetano ali pa maslo in kislo krema.

V matematiki se beseda "ali" uporablja v vključujočem pomenu. Torej izjava, "x je element A ali element B"pomeni, da je možen eden od treh:

• x je element pravičnosti A in ne element B
• x je element pravičnosti B in ne element A.
• x je element obojega A in B. (Lahko bi to tudi rekli x je element presečišča A in B

Primer, kako združitev dveh nizov tvori nov niz, razmislimo o nizih A = {1, 2, 3, 4, 5} in B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Če najdemo združitev teh dveh nizov, preprosto naštejemo vsak element, ki ga vidimo, pri čemer pazimo, da ne podvojimo nobenega elementa. Števila 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 so v enem ali drugem nizu, zato je zveza A in B je {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Poleg razumevanja konceptov v zvezi s operacijami teorije množic je pomembno, da lahko beremo tudi simbole, ki jih označujemo. Simbol, ki se uporablja za združitev obeh sklopov A in B je dal z A ∪ B. Eden od načinov za zapomnitev simbola ∪, ki se nanaša na zvezo, je, da opazimo njeno podobnost velikemu U, to je okrajšava za besedo "zveza." Bodite previdni, saj je simbol za zvezo zelo podoben simbolu za križišče. Eno od drugega dobimo z navpičnim pregibom.

Če si želite ogledati to notacijo, glejte zgornji primer. Tu smo imeli komplete A = {1, 2, 3, 4, 5} in B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Tako bi napisali nastavljeno enačbo A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Ena osnovna identiteta, ki vključuje združitev, nam pokaže, kaj se zgodi, če vzamemo zvezo katerega koli sklopa s praznim nizom, označeno z # 8709. Prazen niz je niz brez elementov. Torej vključitev tega v kateri koli drug sklop ne bo imela učinka. Z drugimi besedami, zveza katerega koli sklopa s praznim nizom nam bo povrnila originalni niz

Ta identiteta z uporabo naše notacije postane še bolj kompaktna. Imamo identiteto: A ∪ ∅ = A.

Za drugo skrajnost pa, kaj se zgodi, ko preučimo zveza niza z univerzalnim kompletom? Ker univerzalni niz vsebuje vsak element, temu ne moremo dodati ničesar drugega. Tako je univerza ali kateri koli sklop z univerzalnim nizom univerzalni niz.

Spet nam notacija pomaga, da to identiteto izrazimo v bolj kompaktni obliki. Za kateri koli komplet A in univerzalni komplet U, A ∪ U = U.

Obstaja veliko več nastavljenih identitet, ki vključujejo uporabo sindikalnega delovanja. Seveda je vedno dobro vadite z uporabo jezika teorije množic. Spodaj je navedenih nekaj pomembnejših. Za vse sklope A, in B in D imamo:

• Odsevna lastnost: A ∪ A =A
• Komutativna lastnost: A ∪ B = B ∪ A
• Pridružljiva lastnost: (A ∪ B) ∪ D =A ∪ (B ∪ D)
• Zakon DeMorgan I: (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
• Zakon DeMorgan II: (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C