Kaj so obratne, kontrapozitivne in obratne?

Pogojne izjave se pojavljajo povsod. V matematiki ali kje drugje ne traja dolgo, da naletimo na nekaj v obliki "Če P torej V. " Pogojne izjave so res pomembne. Pomembne so tudi izjave, ki so povezane s prvotno pogojno izjavo s spremembo položaja P, V in negacijo izjave. Začenši z izvirno izjavo, končamo s tremi pogojnimi stavki, ki jih imenujemo obratno, kontrapozitivno in obratno.

Preden določimo obratno, kontrapozitivno in obratno pogojno izjavo, moramo preučiti temo negacije. Vsaka izjava v logika je bodisi resnična bodisi napačna. Negacija izjave preprosto vključuje vnos besede „ne“ na ustrezen del izjave. Beseda "ne" se doda tako, da spremeni stanje resnice izjave.

Pomagal bo videti primer. Izjava „The desni trikotnik je enakostraničen "ima negacijo" Pravi trikotnik ni enakostraničen. " Negacija „10 je sodo število“ je izjava „10 ni sodo število.“ Seveda zaradi tega zadnji primer lahko uporabimo definicijo neparne številke in namesto tega rečemo, da je "10 neparna številka." Opažamo, da je resničnost izjave nasprotna tisti negacija.

To idejo bomo preučili v bolj abstraktnem okolju. Ko izjava P je res, izjava "ne P"Je napačno. Podobno, če P je napačno, njegova negacija "neP“Je res. Negacije običajno označujemo s tildo ~. Torej, namesto da bi napisali "ne P"Lahko pišemo ~P.

Zdaj lahko določimo obratno, kontrapozitivno in obratno pogojno izjavo. Začnemo s pogojno izjavo "Če P torej V.”

• Nasproten pogojni stavek je "Če V torej P.”
• Nasproten pogojni stavek je „Če ne V potem pa ne P.”
• Povratna pogojna izjava je "Če ne P potem pa ne V.”

Videli bomo, kako te izjave delujejo s primerom. Recimo, da začnemo s pogojno izjavo "Če je sinoči deževalo, potem je pločnik moker."

• Nasprotno od pogojne izjave je "Če je pločnik moker, je sinoči deževalo."
• Nasprotni pogojni stavek je "Če pločnik ni moker, potem sinoči ni deževalo."
• Obrnjena pogojna izjava je "Če sinoči ni deževalo, potem pločnik ni moker."

Morda se vprašamo, zakaj je pomembno, da te druge pogojne izjave oblikujemo iz naše prvotne. Pozorni pogled na zgornji primer nekaj razkrije. Recimo, da je prvotna izjava "Če je sinoči deževalo, potem je pločnik moker", resnična. Katera od drugih trditev mora biti tudi resnična?

• Nasprotovanje "Če je pločnik moker, potem je sinoči deževalo", ni nujno res. Pločnik je lahko moker iz drugih razlogov.
• Obrnjeno "Če sinoči ni deževalo, potem pločnik ni moker" ni nujno res. Spet to, da ni deževalo, še ne pomeni, da pločnik ni moker.
• Kontrapozitiv "Če pločnik ni moker, potem sinoči ni deževalo" je resnična trditev.

To, kar vidimo na tem primeru (in kar lahko dokažemo matematično), je, da ima pogojna trditev enako resničnost kot njena kontrapozitiv. Pravimo, da sta ti dve trditvi logično enakovredni. Vidimo tudi, da pogojna trditev ni logično enakovredna njenemu obratnemu in obratnemu.

Ker sta pogojna trditev in njen kontrapozitiv logično enakovredna, lahko to uporabimo v svojo korist, ko dokazujemo matematične teoreme. Namesto da neposredno dokažemo resničnost pogojne izjave, lahko namesto tega uporabimo strategijo posrednega dokazovanja, da dokažemo resničnost nasprotne izjave. Kontrapozitivni dokazi delujejo, ker če je kontrapozitiv resničen, zaradi logične enakovrednosti drži tudi izvirni pogojni stavek.

Izkazalo se je, da čeprav obratno in obratno nista logično enakovredna prvotnim pogojnim stavkom, so med seboj logično enakovredni. Za to obstaja preprosta razlaga. Začnemo s pogojno izjavo "Če V torej P”. Nasprotna izjava te izjave je „Če ne P potem pa ne V. " Ker je obratno nasprotje kontrasta, sta obratno in obratno logično enakovredni.