Kaj je prazen niz v teoriji kompleta?

Kdaj nič ne more biti nekaj? Zdi se mi neumno vprašanje in precej paradoksalno. Na matematičnem področju teorije množic je rutinsko, da nič ni nekaj drugega kot nič. Kako je to lahko?

Ko oblikujemo nabor brez elementov, nimamo več ničesar. Imamo komplet, v katerem ni ničesar. Za komplet obstaja posebno ime, ki ne vsebuje elementov. Temu se reče prazen ali ničelni niz.

Opredelitev praznega niza je precej subtilna in zahteva malo razmišljanja. Pomembno si je zapomniti, da mislimo na a nabor kot zbirka elementov. Sam set je drugačen od elementov, ki jih vsebuje.

Na primer, pogledali bomo {5}, ki je niz, ki vsebuje element 5. Niz {5} ni število. Gre za niz s številom 5 kot elementom, medtem ko je 5 število.

Na podoben način prazen niz ni nič. Namesto tega je komplet brez elementov. Pomaga razmišljati o kompletih kot posodah, elementi pa so tiste stvari, ki jih damo vanje. Prazen vsebnik je še vedno vsebnik in je analogen praznemu nizu.

Prazen komplet je edinstven, zato je povsem primerno govoriti

Nič posebnega ni v tem, da zgoraj navedeni primeri vsebujejo en element. Z eno izjemo, za katero koli štetje ali neskončnost obstaja neskončno veliko nizov te velikosti. Izjema je številka nič. Obstaja samo en komplet, prazen niz, v katerem ni elementov.

Matematični dokaz tega dejstva ni težaven. Najprej domnevamo, da prazen niz ni edinstven, da obstajata dva niza, v katerih ni elementov, nato pa uporabimo nekaj lastnosti iz teorije množic, da pokažemo, da ta predpostavka pomeni protislovje.

Prazen niz je označen s simbolom ∅, ki izhaja iz podobnega simbola v danskem abecedi. Nekatere knjige se sklicujejo na prazen niz z nadomestnim imenom ničelnega niza.

Ker je samo en prazen niz, je vredno videti, kaj se zgodi, ko se nastavljene operacije križišče, združevanje in dopolnilo uporabljamo s praznim nizom in splošnim nizom, ki ga bomo označili z X. Zanimivo je upoštevati tudi podmnožico praznega niza in kdaj je prazna niz podmnožica. Ta dejstva so zbrana v nadaljevanju:

• The križišče katerega koli niza s praznim nizom je prazen niz. Razlog je v tem, da v praznem nizu ni elementov in tako dva sklopa nimata skupnih elementov. V simbolih pišemo X ∩ ∅ = ∅.
• The zveza katerega koli niza s praznim nizom je niz, s katerim smo začeli. To je zato, ker v praznem nizu ni elementov, zato v drug niz ne dodajamo elementov, ko oblikujemo zvezo. V simbolih pišemo X U ∅ = X.
• The dopolnilo praznega niza je univerzalni niz za nastavitev, v kateri delamo. To je zato, ker je nabor vseh elementov, ki niso v praznem nizu, le nabor vseh elementov.
• Prazen niz je podmnožica katerega koli niza. To je zato, ker oblikujemo podvrsti nabora X z izbiro (ali ne izbiro) elementov iz X. Ena možnost za podmnožico je, da sploh ne uporablja elementov X. Tako dobimo prazen niz.