Verjetnosti in lažnive kocke

Veliko iger na srečo je mogoče analizirati s pomočjo matematike verjetnosti. V tem članku bomo preučili različne vidike igre, imenovane Liar's Dice. Po opisu te igre bomo izračunali verjetnosti, povezane z njo.

Igra Liar’s Dice je pravzaprav družina iger, ki vključujejo blefiranje in prevaro. Obstaja več različic te igre, v njej pa najdemo več različnih imen, kot so piratske kocke, prevara in dudo. Različica te igre je bila predstavljena v filmu Pirates of the Caribbean: Dead Man's Chest.

V različici igre, ki jo bomo preučili, ima vsak igralec skodelico in niz enakega števila kock. Kocke so standardne šeststranske kocke, ki so oštevilčene od ena do šest. Vsak kosa svoje kocke in jih pokriva s skodelico. Igralec ob ustreznem času pogleda svoj kock in jih tako skrije pred vsemi drugimi. Igra je zasnovana tako, da ima vsak igralec popolno znanje o svojem kocku, vendar nima drugih kock, ki so jih odvrgli.

Ko so vsi imeli priložnost pogledati svoje kocke, ki so jih zavrteli, so se začele zbirati ponudbe. Na vsakem koraku ima igralec na voljo dve možnosti: povišati višjo ponudbo ali poklicati prejšnjo ponudbo laž. Ponudbe se lahko zvišajo z zbiranjem višjih vrednosti kock od enega do šestih ali z večjim številom iste vrednosti kock.

Na primer, ponudbo "Tri dva" bi lahko zvišali z navedbo "Štiri dvojice." Lahko bi ga tudi povečali z besedami "Tri troje." Na splošno se niti število kock niti vrednosti kock ne morejo zmanjšati.

Ker je večina kock skrita pred očmi, je pomembno vedeti, kako izračunati nekatere verjetnosti. Če veste, je lažje ugotoviti, kakšne ponudbe bodo resnične in katere so lažne.

Prvo vprašanje je vprašati: "Koliko kock iste vrste bi pričakovali?" Na primer, če zvrnemo pet kock, koliko od teh bi pričakovali, da bomo dve? Odgovor na to vprašanje uporablja zamisel pričakovana vrednost.

Pričakovana vrednost naključne spremenljivke je verjetnost določene vrednosti, pomnožene s to vrednostjo.

Verjetnost, da bosta prva umrla dvojica, je 1/6. Ker so kocke med seboj neodvisne, je verjetnost, da je katera koli od njih dve, 1/6. To pomeni, da je pričakovano število prepletenih dvojic 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Seveda glede rezultata dveh ni nič posebnega. Prav tako ni nič posebnega glede števila kock, ki smo jih upoštevali. Če smo se valjali n kocke, potem je pričakovano število katerega koli od šestih možnih rezultatov n/6. To številko je dobro vedeti, saj nam daje izhodišče za uporabo pri spraševanju o ponudbah drugih.

Na primer, če igramo kocke lažnivcev s šestimi kockami, je pričakovana vrednost katere koli od vrednosti 1 do 6 6/6 = 1. To pomeni, da bi morali biti skeptični, če nekdo ponudi več kot katero koli vrednost. Dolgoročno bi povprečno izračunali eno od možnih vrednosti.

Predpostavimo, da zvrnemo pet kock in želimo najti verjetnost, da bomo zavili dve trojki. Verjetnost, da je matrica tri, je 1/6. Verjetnost, da matrica ni tri, je 5/6. Zvitki teh kock so samostojni dogodki, zato verjetnosti pomnožimo skupaj z pravilo množenja.

Verjetnost, da sta prva dva kocka tri, druge kocke pa ne, je podana z naslednjim izdelkom:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Prvi dve kocki, ki sta trije, je le ena od možnosti. Kocke, ki so trije, so lahko katera koli od petih kock, ki jih valjamo. Številko, ki ni tri, označujemo z matico. Spodaj so možni načini, da iz petih zvitkov dobite dve trojki:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Vidimo, da obstaja deset načinov, da se iz petih kock zvrne točno dve trojki.

Zdaj množimo svojo verjetnost zgoraj na 10 načinov, kako lahko imamo to konfiguracijo kock. Rezultat je 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. To je približno 16%.

Zdaj zgornji primer posplošujemo. Upoštevamo verjetnost kotaljenja n kocke in pridobivanje točno k ki imajo določeno vrednost.

Tako kot prej je verjetnost prevračanja želenega števila 1/6. Verjetnost, da te številke ne spremenite, poda izraz pravilo dopolnjevanja kot 5/6. Želimo k naše kocke, da je izbrana številka. To pomeni da n - k so številka drugačna od tiste, ki jo želimo. Verjetnost prvega k kocke so določene številke z drugimi kockami, ne pa ta številka:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Bilo bi dolgočasno, če ne omenjam zamudnega, našteti vse možne načine za valjanje določene konfiguracije kock. Zato je bolje uporabiti naša načela štetja. Skozi te strategije vidimo, da štejemo kombinacije.

Obstajajo C (n, k) načine valjanja k določene vrste kock n kocke. To število je določeno s formulo n!/(k!(n - k)!)

Če vse sestavimo skupaj, to vidimo, ko se valjamo n kocke, verjetnost, da točno k od tega je določeno število določeno s formulo:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Obstaja še en način, kako razmisliti o tej vrsti težav. To vključuje binomna porazdelitev z verjetnostjo uspeha, ki jo je dal str = 1/6. Formula točno k teh kock je določeno število, znano je kot funkcija verjetnostne mase za binom distribucija.

Druga situacija, ki bi jo morali razmisliti, je verjetnost, da se lahko kotali vsaj določeno število določene vrednosti. Na primer, ko zvrnemo pet kock, kolikšna je verjetnost, da bomo zavrteli vsaj tri? Lahko bi zavrteli tri, štiri ali pet. Za določitev verjetnosti, ki jo želimo najti, seštejemo tri verjetnosti.

Spodaj imamo tabelo verjetnosti natančnega pridobivanja k določene vrednosti, ko vržemo pet kock.

Nato upoštevamo naslednjo tabelo. Podaja verjetnost, da bomo kotalili skupaj pet kock, vsaj določeno število vrednosti. Vidimo, da čeprav je zelo verjetno, da zavijete vsaj enega 2, ni tako verjetno, da bi zavili vsaj štiri dva.