Ničelni faktor je matematični izraz za število načinov urejanja nabora podatkov brez vrednosti, ki je enaka ena. Na splošno je faktografski števila je skrajšani način za zapis pomnoževalnega izraza, pri čemer se število pomnoži z vsako številko manjše od njega, vendar večje od nič. 4! = 24, na primer, je isto kot pisanje 4 x 3 x 2 x 1 = 24, vendar eden uporablja klicaj desno od tovarniške številke (štiri), da izrazi isto enačbo.
Iz teh primerov je precej jasno, kako izračunati faktorjev katerega koli celotnega števila, večjega od ali enaka ena, ampak zakaj je vrednost nič faktororialne ena kljub matematičnemu pravilu, da je karkoli pomnoženo z ničjo enako nič?
Definicija faktoriala pravi, da je 0! = 1. To običajno ljudi zmede, ko prvič vidijo to enačbo, vendar bomo videli v nadaljevanju primeri, zakaj je to smiselno, če pogledate definicijo, permutacije in formule za ničlo faktografski.
Opredelitev ničelnega dejavnika
Prvi razlog, zakaj je nič faktorjev enak enemu, je, da tako definicija pravi, da bi morala biti, kar je matematično pravilna razlaga (če je nekoliko nezadovoljiva). Kljub temu se moramo zavedati, da je definicija faktoria produkt vseh celih števil, ki so enake ali manj vrednosti izvirna številka - z drugimi besedami, faktororial je število kombinacij, ki so možne s številkami, manjšimi ali enakimi številka.
Ker nič nima številk manjših od njih, vendar je še vedno samo po sebi število, obstaja le ena možna kombinacija, kako lahko ta niz podatkov razporedimo: ne more. To še vedno šteje za način urejanja, tako da je po definiciji nič faktorjev enako 1, ravno 1! je enaka ena, ker obstaja le ena možna ureditev tega nabora podatkov.
Za boljše razumevanje, kako je to smiselno matematično, je pomembno upoštevati, da se tovrstne tovarne uporabljajo za določanje možnih vrstnih vrst informacij v zaporedje, znano tudi kot permutacije, kar je lahko koristno pri razumevanju, da čeprav v praznem ali ničelnem nizu ni nobenih vrednosti, še vedno obstaja en način, urejena.
Permutacije in faktororiji
A permutacija je poseben, edinstven vrstni red elementov v množici. Na primer, obstaja šest permutacij niza {1, 2, 3}, ki vsebuje tri elemente, saj lahko te elemente zapišemo na naslednjih šest načinov:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
To dejstvo bi lahko navedli tudi z enačbo 3! = 6, kar predstavlja faktografski prikaz celotnega niza permutacij. Na podoben način so tudi 4! = 24 permutacij niza s štirimi elementi in 5! = 120 permutacij niza s petimi elementi. Torej je alternativni način razmišljanja o faktororiju dopustiti n bodi naravno število in to povej n! je število permutacij za niz s n elementi.
S takšnim načinom razmišljanja o faktororiju si oglejmo še nekaj primerov. Niz z dvema elementoma je dve permutaciji: {a, b} lahko razporedimo kot a, b ali kot b, a. To ustreza 2! = 2. Niz z enim elementom ima eno samo permutacijo, saj lahko element 1 v množici {1} naročimo samo na en način.
To nas pripelje do ničlega faktoriala. Niz z elementi nič se imenuje prazen komplet. Da bi našli vrednost nič faktoriala, si vprašamo: "Na koliko načinov lahko naročimo komplet brez elementov?" Tukaj moramo nekoliko raztegniti svoje razmišljanje. Čeprav ni ničesar, kar bi bilo treba narediti, obstaja en način. Tako imamo 0! = 1.
Formule in druge ocene
Še en razlog za definicijo 0! = 1 se nanaša na formule, ki jih uporabljamo za permutacije in kombinacije. To ne pojasnjuje, zakaj je nič faktorjev ena, ampak vseeno kaže, zakaj je nastavitev 0! = 1 je dobra ideja.
Kombinacija je združevanje elementov niza, ne glede na vrstni red. Na primer, upoštevajte niz {1, 2, 3}, kjer obstaja ena kombinacija, sestavljena iz vseh treh elementov. Ne glede na to, kako uredimo te elemente, na koncu dobimo isto kombinacijo.
Uporabljamo formula za kombinacije s kombinacijo treh elementov, vzetih po tri in glej, da je 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), In če obravnavamo 0! kot neznano količino in rešujemo algebraično, vidimo, da 3! 0! = 3! in tako 0! = 1.
Obstajajo še drugi razlogi, zakaj je definicija 0! = 1 je pravilno, vendar so zgornji razlogi najbolj preprosti. Skupna ideja matematike je, da ko se oblikujejo nove ideje in definicije, ostanejo skladno z drugo matematiko, in to je točno tisto, kar vidimo v definiciji nič faktorjev enaka ena.