Vektorska matematika: osnovni, vendar celovit uvod

To je osnovni, čeprav upam, dokaj obsežen uvod v delo z vektorji. Vektorji se manifestirajo na najrazličnejše načine, od premika, hitrosti in pospeška do sil in polj. Ta članek je namenjen matematiki vektorjev; njihova uporaba v specifičnih situacijah bo obravnavana drugje.

A vektorska količinaali vektor, ponuja informacije o ne le velikosti, ampak tudi smeri količine. Ko dajete navodila hiši, ni dovolj reči, da je oddaljena 10 milj, ampak je treba zagotoviti tudi smer teh 10 milj, da so informacije koristne. Spremenljivke, ki so vektorji, bodo označene s krepko spremenljivko, čeprav je običajno videti vektorje, označene z majhnimi puščicami nad spremenljivko.

Tako kot ne rečemo, da je druga hiša oddaljena -10 milj, je jakost vektorja vedno pozitivno število, oziroma absolutno vrednost "dolžine" vektorja (čeprav količina ne sme biti dolžina, lahko je hitrost, pospešek, sila itd.) Negativ pred vektorjem ne kaže spremembe velikosti, temveč v smeri smeri vektor.

V zgornjih primerih je razdalja skalarna količina (10 milj), vendar

A enoto vektor je vektor, ki ima velikost enega. Vektor, ki predstavlja enoto vektorja, je običajno tudi krepko, čeprav ima karat (^) nad njo, da označi naravo spremenljivke. Enota vektor x, ko se piše s karatom, se na splošno bere kot "x-kapa", ker je karat na spremenljivki nekako podoben klobuku.

The ničelni vektorali ničelni vektor, je vektor z ničelno magnitudo. Napisana je kot 0 v tem članku.

Vektorji so na splošno usmerjeni na koordinatni sistem, od katerih je najbolj priljubljena dvodimenzionalna kartezijanska ravnina. Kartezijeva ravnina ima vodoravno os, označeno s x, in navpično os z y. Nekatere napredne aplikacije vektorjev v fiziki zahtevajo uporabo tridimenzionalnega prostora, v katerem so osi x, y in z. Ta članek se bo ukvarjal večinoma z dvodimenzionalnim sistemom, čeprav je mogoče koncepte z nekaj pozornosti razširiti na tri dimenzije brez prevelikih težav.

Vektorji v večdimenzionalnih koordinatnih sistemih se lahko razdelijo na svoje komponentni vektorji. V dvodimenzionalnem primeru je to rezultat a x komponenta in a y-komponenta. Pri razbijanju vektorja na njegove komponente je vektor vsota komponent:

F = F_x + F_y

thetaF_xF_yF

F_x / F = cos theta in F_y / F = greh thetakar nam daje
F_x = F cos theta in F_y = F greh theta

Upoštevajte, da so tukaj številke vrednosti vektorjev. Poznamo smer komponent, vendar poskušamo najti njihovo velikost, zato odstranimo smerne informacije in izvedemo te skalarne izračune, da ugotovimo, kakšna je velikost. Nadaljnjo uporabo trigonometrije lahko uporabimo za iskanje drugih razmerij (kot je tangenta), ki se nanašajo na nekatere od teh količin, vendar mislim, da je to za zdaj dovolj.

Dolga leta je edina matematika, ki se jo uči, skalarna matematika. Če potujete 5 milj proti severu in 5 milj proti vzhodu, ste prepotovali 10 milj. Če dodate skalarne količine, prezrete vse informacije o navodilih.

Z vektorji se manipulira nekoliko drugače. Pri manipulaciji z njimi je treba vedno upoštevati smer.

Ko dodate dva vektorja, je, kot da bi vzeli vektorje in jih postavili od konca do konca ter ustvarili nov vektor, ki teče od začetne do končne točke. Če imajo vektorji isto smer, potem to samo pomeni dodajanje magnitud, če pa imajo različne smeri, lahko postane bolj zapleteno.

Vektorje dodate tako, da jih razbijete na njihove komponente in nato dodate komponente, kot je spodaj:

a + b = c
a_x + a_y + b_x + b_y =
( a_x + b_x) + ( a_y + b_y) = c_x + c_y

Dve komponenti x bosta povzročili x-komponento nove spremenljivke, medtem ko obe komponenti y dobita y-komponento nove spremenljivke.

Vrstni red, po katerem dodate vektorje, ni pomemben. V resnici je več lastnosti skalarnega dodajanja za vektorsko seštevanje:

Lastnost identitete vektorskih dodatkov
a + 0 = a
Inverzna lastnost vektorskega dodatka
a + -a = a - a = 0
Odsevna lastnost vektorskega dodatka
a = a
Komutativna lastnina Vektorskega dodatka
a + b = b + a
Pridružitvena lastnost vektorskega dodatka
(a + b) + c = a + (b + c)
Prehodna lastnost vektorskega dodatka
Če a = b in c = b, torej a = c

Najpreprostejša operacija, ki jo lahko izvedemo na vektorju, je, da jo pomnožimo s skalarjem. To skalarno množenje spreminja magnitudo vektorja. Z drugimi besedami, vektor naredi daljši ali krajši.

Ko pomnožimo na negativni skalar, bo dobljeni vektor kazal v nasprotni smeri.

The skalarni izdelek dveh vektorjev je način, da jih pomnožimo skupaj, da dobimo skalarno količino. To je zapisano kot množenje dveh vektorjev, v sredini pa je pika, ki predstavlja množenje. Kot tak je pogosto imenovan pik izdelek dveh vektorjev.

Če želite izračunati točkovni produkt dveh vektorjev, upoštevate kot med njima. Z drugimi besedami, če bi si delili isto izhodišče, kakšna bi bila meritev kota (theta) med njimi. Izdelek s pikami je opredeljen kot:

a * b = ab cos theta

ababba

V primerih, ko so vektorji pravokotni (oz theta = 90 stopinj), cos theta bo nič. Zato je dr. pični izdelek pravokotnih vektorjev je vedno enak nič. Ko so vektorji vzporedno (ali theta = 0 stopinj), cos theta je 1, zato je skalarni izdelek le produkt veličine.

Ta čista dejstva lahko uporabimo za dokazovanje, da lahko, če poznate sestavne dele, potrebo po theti v celoti odpravimo z (dvodimenzionalno) enačbo:

a * b = a_x b_x + a_y b_y

The vektorski izdelek je zapisan v obliki a x b, in se običajno imenuje navzkrižni izdelek dveh vektorjev. V tem primeru množimo vektorje in namesto da dobimo skalarno količino, dobimo vektorsko količino. To je najzahtevnejše od vektorskih izračunov, s katerimi se bomo ukvarjali ne komutativno in vključuje uporabo strašnih desničarsko pravilo, ki ga bom dobil v kratkem.

Spet štejemo dva vektorja, narisana iz iste točke, s kotom theta med njimi. Vedno vzamemo najmanjši kot, torej theta bo vedno v območju od 0 do 180 in rezultat zato nikoli ne bo negativen. Velikost dobljenega vektorja se določi na naslednji način:

Če c = a x b, torej c = ab greh theta

Vektorski produkt vzporednih (ali protiparalnih) vektorjev je vedno enak nič

Vektorski izdelek bo pravokoten na ravnino, ustvarjeno iz teh dveh vektorjev. Če na mizici vidite ravnino, je vprašanje, ali gredo nastali vektorji navzgor (naš "zunaj" mize, z naše perspektive) ali navzdol (ali "v" mizo, od naše perspektiva).

Če želite to ugotoviti, morate uporabiti tisto, kar se imenuje desničarsko pravilo. Ko sem v šoli študiral fiziko, sem uničen desničarsko pravilo. Vsakič, ko sem ga uporabil, sem moral izvleči knjigo, da sem pogledal, kako deluje. Upam, da bo moj opis nekoliko bolj intuitiven kot tisti, ki sem ga predstavil.

Če imate a x b desno roko položite po dolžini b tako da se lahko prsti (razen palca) ukrivijo, da se usmerijo vzdolž a. Z drugimi besedami, nekako poskušate narediti kot theta med dlanjo in štirimi prsti desne roke. Palec se bo v tem primeru lepil naravnost navzgor (ali zunaj zaslona, ​​če ga poskušate narediti do računalnika). Vaše členke bodo približno postavljene z izhodiščem obeh vektorjev. Natančnost ni bistvena, vendar želim, da dobite zamisel, saj tega nimam za prikaz.

Če pa razmišljate b x a, boste storili nasprotno. Desno roko boste postavili zraven a in usmerite prste vzdolž b. Če poskušate to storiti na računalniškem zaslonu, se vam bo zdelo nemogoče, zato uporabite domišljijo. Ugotovili boste, da v tem primeru vaš domiselni palec kaže na računalniški zaslon. To je smer izhajajočega vektorja.

Desno pravilo prikazuje naslednje razmerje:

a x b = - b x a

kabina

c_x = a_y b_z - a_z b_y
c_y = a_z b_x - a_x b_z
c_z = a_x b_y - a_y b_x

abc_xc_yc

Na višjih ravneh lahko vektorji postanejo izjemno kompleksni. Vsi tečaji na fakulteti, kot je linearna algebra, posvečajo veliko časa matricam (česar sem se v uvodu prijazno izognil), vektorjem in vektorski prostori. Ta raven podrobnosti presega področje uporabe tega članka, vendar bi to moralo zagotoviti temelje, potrebne za večino vektorskih manipulacij, ki se izvajajo v učilnici fizike. Če nameravate študirati fiziko v večjih globinah, se boste z izobraževanjem seznanili s kompleksnejšimi vektorskimi koncepti.