Maks in točke pregiba Chi-kvadratne porazdelitve

Matematična statistika uporablja tehnike iz različnih vej matematike, da dokončno dokaže, da so trditve v zvezi s statistiko resnične. Videli bomo, kako uporabiti izračun za določitev zgornjih vrednosti obeh najvišjih vrednosti chi-kvadratna porazdelitev, ki ustreza njegovemu načinu, kot tudi poiščite pregibna mesta distribucija.

Pred tem bomo razpravljali o značilnostih maksimuma in nagibnih točk na splošno. Preučili bomo tudi metodo za izračun največjega naklona.

Za diskretni niz podatkov je način način, ki se najpogosteje pojavlja. Na histogramu podatkov bi to predstavljal najvišji stolpec. Ko poznamo najvišjo vrstico, pogledamo vrednost podatkov, ki ustreza osnovni vrednosti te vrstice. To je način za naš nabor podatkov.

Ista ideja se uporablja pri delu z neprekinjeno distribucijo. Tokrat za iskanje načina iščemo najvišji vrh v distribuciji. Za graf te porazdelitve je višina vrha vrednost y. Ta vrednost y se za naš graf imenuje največ, ker je vrednost večja od katere koli druge y vrednosti. Način je vrednost vzdolž vodoravne osi, ki ustreza tej največji y-vrednosti.

Čeprav lahko preprosto poiščemo graf porazdelitve, da bi našli način, ima nekaj težav s to metodo. Naša natančnost je le dobra kot naš graf in verjetno bomo morali oceniti. Prav tako lahko pride do težav pri graficiranju naše funkcije.

Nadomestna metoda, ki ne zahteva grafiranja, je uporaba računa. Metoda, ki jo bomo uporabili, je naslednja:

1. Začnite s funkcijo gostote verjetnosti f (x) za našo distribucijo.
2. Izračunaj prvo in drugo odvod te funkcije: f '(x) in f ''(x)
3. Nastavite ta prvi izvod enak nič f '(x) = 0.
4. Rešite za x
5. Vstavite vrednost (e) iz prejšnjega koraka v drugi derivat in ocenite. Če je rezultat negativen, imamo lokalni maksimum pri vrednosti x.
6. Ocenite našo funkcijo f (x) na vseh točkah x iz prejšnjega koraka.
7. Ocenite funkcijo gostote verjetnosti na kateri koli končni točki njene podpore. Torej, če ima funkcija domeno, dano z zaprtim intervalom [a, b], nato ocenite funkcijo v končnih točkah a in b.
8. Največja vrednost v korakih 6 in 7 bo absolutni maksimum funkcije. Vrednost x, kjer se ta maksimum pojavi, je način razdelitve.

Zdaj gremo skozi zgornje korake za izračun načina porazdelitve chi-kvadratov s r stopinj svobode. Začnemo s funkcijo gostote verjetnosti f(x), ki je prikazan na sliki v tem članku.

f (x) = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Tukaj K je stalnica, ki vključuje gama funkcija in moč 2. Posebnosti nam ni treba vedeti (vendar se lahko za njih sklicujemo na formulo na sliki).

Prvi izpeljanki te funkcije je dan z uporabo pravilo izdelka kot tudi verižno pravilo:

f '( x ) = K (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

To izpeljanko smo postavili na nič in izračunali izraz na desni strani:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)x^-1- 1/2]

Od stalnice K, the eksponentna funkcija in x^{r / 2-1} so vsi enačbi, lahko obe strani enačbe razdelimo s temi izrazi. Nato imamo:

0 = (r / 2 - 1)x^-1- 1/2

Obe strani enačbe pomnožite z 2:

0 = (r - 2)x^-1- 1

Tako 1 = (r - 2)x^-1in zaključimo s tem, da imamo x = r - 2 To je točka vzdolž vodoravne osi, kjer se pojavi način. Označuje znak x vrednost vrha naše hi-kvadratne porazdelitve.

Druga značilnost krivulje se ukvarja z načinom krivulje. Deli krivulje so lahko konkavni navzgor, kot zgornji del U. Krivine so lahko tudi konkavno navzdol in oblikovane kot križišče simbol ∩. Če se krivulja spremeni iz konkavne navzdol v konkavno navzgor, ali obratno, imamo pregibno točko.

Drugi izvod funkcije zazna konkavnost grafa funkcije. Če je drugi derivat pozitiven, je krivulja konkavna navzgor. Če je drugi derivat negativen, je krivulja konkavna navzdol. Ko je drugi izvod enak nič in graf funkcije spremeni konkavnost, imamo prelomno točko.

Da bi našli točke prekrivanja grafa:

1. Izračunaj drugi izvod naše funkcije f ''(x).
2. Ta drugi izvod nastavite na nič.
3. Rešite enačbo iz prejšnjega koraka za x

Zdaj vidimo, kako delati skozi zgornje korake za distribucijo chi-kvadratkov. Začnemo z razlikovanjem. Iz zgornjega dela smo videli, da je prvi izvod za našo funkcijo:

f '(x) = K (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Ponovno se ločimo po pravilniku izdelka dvakrat. Imamo:

f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) x^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2}

To nastavimo na nič in obe strani razdelimo za Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) x^{r / 2-2}

Z združevanjem podobnih izrazov imamo:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}

Obe strani pomnožite s 4x^{3 - r / 2}, to nam daje:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

Kvadratno formulo lahko zdaj uporabimo za reševanje x

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Razširimo izraze, ki so sprejeti na 1/2 moči in si oglejte naslednje:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

To pomeni da:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Iz tega vidimo, da obstajata dve pregibni točki. Poleg tega so te točke simetrične glede na način porazdelitve, saj je (r - 2) na polovici obeh pregibnih točk.

Vidimo, kako sta obe funkciji povezani s številom stopenj svobode. Te podatke lahko uporabimo za pomoč pri skiciranju distribucije chi-kvadrat. To distribucijo lahko primerjamo tudi z drugimi, na primer z normalno distribucijo. Vidimo, da se prelomne točke za hi-kvadratno porazdelitev pojavljajo na različnih mestih kot na pregibne točke za normalno porazdelitev.