Delovni list za Čebiševo neenakost

Čebiševa je neenakost pravi, da vsaj 1 -1 /K² Podatki iz vzorca morajo spadati Kstandardna odstopanja Iz pomeni, kjeK je pozitiven resnično število večji od enega. To pomeni, da nam ni treba poznati oblike distribucije naših podatkov. Z le srednjo in standardno deviacijo lahko določimo količino podatkov določeno število standardnih odstopanj od srednje.

Sledi nekaj težav pri izvajanju neenakosti.

Razred drugorazrednih grederjev ima povprečno višino pet metrov s standardnim odklonom enega palca. Vsaj kakšen odstotek razreda mora biti od 4 do 10 “do 5“?

Višine, navedene v zgornjem območju, so v dveh standardnih odstopanjih od povprečne višine pet metrov. Čebiševa neenakost pravi, da je vsaj 1 - 1/2² = 3/4 = 75% razreda je v danem območju višine.

Ugotovljeno je, da računalniki v določenem podjetju zdržijo v povprečju tri leta brez okvare strojne opreme, s standardnim odmikom dveh mesecev. Vsaj kakšen odstotek računalnikov zdrži med 31 in 41 meseci?

Povprečna življenjska doba treh let ustreza 36 mesecem. Časi od 31 mesecev do 41 mesecev so vsak 5/2 = 2,5 standardnih odstopanj od povprečne vrednosti. Po Čebiševi neenakosti, vsaj 1 - 1 / (2.5) 6

Bakterije v kulturi živijo povprečno tri ure s standardnim odstopanjem 10 minut. Vsaj del bakterije živi med dvema in štirimi urami?

Dve in štiri ure sta vsako uro od povprečja. Ena ura ustreza šestim standardnim odklonom. Torej vsaj 1 - 1/6² = 35/36 = 97% bakterij živi med dvema in štirimi urami.

Kakšno je najmanjše število standardnih odstopanj od povprečja, ki ga moramo iti, če želimo zagotoviti, da imamo vsaj 50% podatkov distribucije?

Tukaj uporabljamo Čebiševo neenakost in delamo nazaj. Želimo 50% = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K². Cilj je uporabiti algebro za reševanje K.

Vidimo, da je 1/2 = 1 /K². Križ pomnožimo in vidimo, da je 2 =K². Vzamemo kvadratni koren obeh strani in od takrat K je več standardnih odstopanj, negativno rešitev enačbe zanemarimo. To kaže, da K je enako kvadratnemu korenu dveh. Tako je vsaj 50% podatkov v približno 1,4 standardnih odstopanjih od povprečja.

Avtobusna pot # 25 traja v povprečju 50 minut s standardnim odklonom 2 minuti. Na promocijskem plakatu za ta avtobusni sistem piše, da "95% trase avtobusov št. 25 traja od ____ do _____ minut." S katerimi številkami bi izpolnili praznine?

To vprašanje je podobno zadnjem, ki ga moramo rešiti K, število standardnih odstopanj od povprečne vrednosti. Začnite z nastavitvijo 95% = 0,95 = 1 - 1 /K². To kaže, da je 1 - 0,95 = 1 /K². Poenostavite, če želite videti, da je 1 / 0,05 = 20 = K². Torej K = 4.47.

Zdaj to izrazite v zgornjih pogojih. Vsaj 95% vseh voženj je 4,47 standardnih odstopanj od povprečnega časa 50 minut. Pomnožite 4,47 s standardnim odklonom 2 in na koncu devet minut. Tako 95% časa avtobusna pot # 25 traja med 41 in 59 minutami.