Pomemben del inferencialne statistike je testiranje hipotez. Kot pri učenju česar koli, povezanega z matematiko, je koristno delati skozi več primerov. V nadaljevanju preučuje primer preizkusa hipoteze in izračuna verjetnost napake tipa I in tipa II.
Domnevali bomo, da veljajo preprosti pogoji. Natančneje bomo domnevali, da imamo a preprost naključni vzorec iz populacije, ki je bodisi normalno razporejeni ali ima dovolj veliko velikost vzorca, ki jo lahko uporabimo izrek o osrednji meji. Domnevali bomo tudi, da poznamo populacijski standardni odklon.
Izjava problema
Vrečka krompirjevih čipsa je pakirana po teži. Skupaj je kupljenih devet vrečk, tehtanih, povprečna teža teh devet vreč je 10,5 unč. Recimo, da je standardni odklon populacije vseh takšnih vrečk čipov 0,6 unče. Navedena teža v vseh paketih je 11 unč. Stopnjo pomembnosti nastavite na 0,01.
Vprašanje 1
Ali vzorec podpira hipotezo, da je povprečna populacija manjša od 11 unč?
Imamo spodnji test. To vidi izjava naše nične in alternativne hipoteze:
- H0: μ=11.
- Ha: μ < 11.
Statistika testa se izračuna po formuli
z = (x-bar - μ0)/(σ/√n) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.
Zdaj moramo določiti, kako verjetno je ta vrednost z nastane samo zaradi naključja. Z uporabo tabele iz z-sledimo, da je verjetnost, da z je manj kot ali enako -2,5 je 0,0062. Ker je ta p-vrednost manjša od stopnja pomembnosti, zavračamo ničelno hipotezo in sprejmemo alternativno hipotezo. Srednja teža vseh vrečk čipov je manjša od 11 unč.
Vprašanje 2
Kakšna je verjetnost napake tipa I?
Napaka tipa I se pojavi, ko zavrnemo nično hipotezo, ki je resnična. Verjetnost takšne napake je enaka stopnji pomembnosti. V tem primeru imamo stopnjo pomembnosti enako 0,01, tako da je to verjetnost napake tipa I.
Vprašanje 3
Če je povprečna populacija v resnici 10,75 unče, kolikšna je verjetnost napake tipa II?
Začnemo s preoblikovanjem svojega odločitvenega pravila glede na vzorčno srednjo vrednost. Za stopnjo pomembnosti 0,01 zavračamo nično hipotezo kdaj z < -2.33. Z vključitvijo te vrednosti v formulo za testno statistiko zavrnemo ničelno hipotezo kdaj
(x-bar - 11) / (0,6 / √ 9)
Enako zavračamo ničelno hipotezo, kadar 11 - 2,33 (0,2)> x-bar ali kdaj x-bar je manjši od 10.534. Nične hipoteze za x-bar večja ali enaka 10.534. Če je resnična povprečna populacija 10,75, potem je verjetnost, da x-bar je večji od 10.534 ali enak verjetnosti, da je z je večja ali enaka -0,22. Ta verjetnost, ki je verjetnost napake tipa II, je enaka 0,587.