Funkcije ustvarjanja trenutnih naključnih spremenljivk

Eden od načinov za izračun povprečne vrednosti in variance a porazdelitev verjetnosti je najti pričakovane vrednosti naključnih spremenljivk X in X². Uporabljamo notacijo E(X) in E(X²) za označevanje teh pričakovanih vrednosti. Na splošno je težko izračunati E(X) in E(X²) neposredno. Da se izognemo tej težavi, uporabimo nekaj naprednejše matematične teorije in računanja. Končni rezultat je nekaj, kar olajša naše izračune.

Strategija tega problema je določiti novo funkcijo, novo spremenljivko t ki se imenuje funkcija generiranja trenutka. Ta funkcija nam omogoča, da izračunamo trenutke s preprosto jemanjem izpeljank.

Preden določimo funkcijo generiranja trenutka, začnemo z nastavitvijo odra z notacijo in definicijami. Dovolimo X biti a diskretna naključna spremenljivka. Ta naključna spremenljivka ima funkcijo mase verjetnosti f(x). Vzorčni prostor, s katerim delamo, bo označen s S.

Namesto da bi izračunali pričakovano vrednost X, želimo izračunati pričakovano vrednost eksponentne funkcije, povezane s

Funkcija ustvarjanja trenutka je pričakovana vrednost zgoraj eksponentne funkcije. Z drugimi besedami, pravimo, da funkcija, ki ustvarja trenutek X poda:

M(t) = E(e^tX)

Ta pričakovana vrednost je formula Σ e^txf (x), kjer seštevek prevzame vse x v vzorčni prostorS. To je lahko končna ali neskončna vsota, odvisno od vzorčnega prostora.

Funkcija ustvarjanja trenutka ima veliko funkcij, ki se povezujejo z drugimi temami v verjetnosti in matematični statistiki. Nekatere njegove najpomembnejše lastnosti vključujejo:

• Koeficient e^tb je verjetnost, da X = b.
• Funkcije generiranja trenutka imajo lastnost edinstvenosti. Če se funkcije, ki ustvarjajo trenutek za dve naključni spremenljivki, ujemata med seboj, potem morajo biti verjetnostne mase enake. Z drugimi besedami, naključne spremenljivke opisujejo isto porazdelitev verjetnosti.
• Funkcije ustvarjanja trenutka se lahko uporabljajo za izračun trenutkov X.

Zadnja točka na zgornjem seznamu razloži ime funkcij za ustvarjanje trenutkov in tudi njihovo uporabnost. Nekateri napredni matematiki pravijo, da je pod pogoji, ki smo jih postavili, izpeljanka katerega koli vrstnega reda funkcije M (t) obstaja za kdaj t = 0. Poleg tega lahko v tem primeru spremenimo vrstni red seštevanja in razlikovanja glede na t pridobiti naslednje formule (vse vsote so nad vrednostmi od x v vzorčnem prostoru S):

• M’(t) = Σ xe^txf (x)
• M’’(t) = Σ x²e^txf (x)
• M’’’(t) = Σ x³e^txf (x)
• M⁽ⁿ⁾’(t) = Σ xⁿe^txf (x)

Če nastavimo t = 0 v zgornjih formulah, potem e^tx izraz postane e⁰ = 1. Tako dobimo formule za trenutke naključne spremenljivke X:

• M’(0) = E(X)
• M’’(0) = E(X²)
• M’’’(0) = E(X³)
• M⁽ⁿ⁾(0) = E(Xⁿ)

To pomeni, da če za določeno naključno spremenljivko obstaja funkcija za generiranje trenutkov, potem lahko najdemo njeno srednjo vrednost in razliko v smislu izpeljanih funkcij, ki ustvarjajo moment. Srednja vrednost je M(0) in varianta je M’’(0) – [M’(0)]².

Če povzamemo, smo se morali prepletati v nekaj zelo močne matematike, zato smo nekatere stvari prekrivali. Čeprav moramo za zgoraj navedeno uporabiti izračun, je na koncu naše matematično delo običajno lažje kot z izračunavanjem trenutkov neposredno iz definicije.