Razumevanje definicije simetrične razlike

Teorija množic uporablja več različnih operacij za izdelavo novih nizov iz starih. Obstajajo različni načini izbire določenih elementov iz danih nizov, medtem ko drugih izključite. Rezultat je običajno niz, ki se razlikuje od originalnega. Pomembno je imeti dobro opredeljene načine, kako sestaviti te nove sklope, njihovi primeri pa vključujejo zveza, križišče, in razlika dveh sklopov. Operacija nastavitve, ki je morda manj znana, se imenuje simetrična razlika.

Da bi razumeli definicijo simetrične razlike, moramo najprej razumeti besedo "ali". Kljub majhnosti ima beseda "ali" v angleškem jeziku dve različni uporabi. Lahko je ekskluziven ali vključujoč (in v tem stavku je bil uporabljen izključno). Če nam rečejo, da lahko izbiramo med A ali B in je smisel izključen, imamo morda le eno od obeh možnosti. Če je smisel vključujoč, potem imamo morda A, lahko B, ali pa A in B.

Običajno nas kontekst vodi, ko trčimo proti besedi ali nam sploh ni treba razmišljati o tem, kako se uporablja. Če nas vprašajo, ali bi radi imeli smetano ali sladkor v sebi

Beseda „ali“ je torej v definicijski zvezi uporabljena v vključujočem pomenu. Združitev nizov A in B je niz elementov v A ali B (vključno s tistimi elementi, ki sta v obeh nizih). Toda splača se imeti operacijo nastavitve, ki tvori niz, ki vsebuje elemente v A ali B, kjer se v izključnem smislu uporablja 'ali'. Temu pravimo simetrična razlika. Simetrična razlika nizov A in B sta tista elementa v A ali B, ne pa v A in B. Medtem ko se notacija razlikuje glede na simetrično razliko, bomo to zapisali kot A ∆ B

Za primer simetrične razlike bomo upoštevali sklope A = {1,2,3,4,5} in B = {2,4,6}. Simetrična razlika med temi množicami je {1,3,5,6}.

Za določitev simetrične razlike se lahko uporabijo druge nastavljene operacije. Iz zgornje definicije je razvidno, da lahko izrazimo simetrično razliko A in B kot razliko zveze A in B ter presečišča A in B. V simbole zapišemo: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Enakovredni izraz z uporabo nekaterih različnih nastavljenih operacij pomaga razložiti ime simetrična razlika. Namesto da bi uporabili zgornjo formulacijo, lahko zapišemo simetrično razliko na naslednji način: (A - B) ∪ (B - A). Tu spet vidimo, da je simetrična razlika množica elementov v A, vendar ne v B, ali v B, vendar ne v A. Tako smo izključili te elemente v križišču A in B. Matematično je mogoče dokazati, da sta ti dve formuli enakovredni in se nanašata na isti niz.

Ime simetrična razlika kaže na povezavo z razliko dveh nizov. Ta razlika je razvidna v obeh zgornjih formulah. V vsakem od njih smo izračunali razliko dveh nizov. Simetrična razlika razlikuje od razlike je njena simetrija. Z gradnjo se lahko vlogi A in B spremenita. To ne drži za razliko med dvema nizoma.

Če poudarimo to točko, bomo z le malo dela opazili simetričnost simetrične razlike, odkar vidimo A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.