The pogojna verjetnost dogodka je verjetnost, da dogodekA se zgodi glede na to, da je še en dogodek B se je že zgodilo. Ta vrsta verjetnosti se izračuna z omejitvijo vzorčni prostor s katerimi delamo samo na naboru B.
Formulo za pogojno verjetnost lahko zapišemo z uporabo osnovne algebre. Namesto formule:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),
pomnožimo obe strani s P (B) in dobimo enakovredno formulo:
P (A | B) x P (B) = P (A ∩ B).
Nato lahko s to formulo ugotovimo verjetnost, da se dva dogodka zgodita z uporabo pogojne verjetnosti.
Uporaba formule
Ta različica formule je najbolj uporabna, če poznamo pogojno verjetnost A dano B kot tudi verjetnost dogodka B. Če je tako, potem lahko izračunamo verjetnost križišče od A dano B s preprosto množenjem dveh drugih verjetnosti. Verjetnost presečišča dveh dogodkov je pomembna številka, ker gre za verjetnost, da se oba dogodka zgodita.
Primeri
V prvem primeru predpostavimo, da poznamo naslednje vrednosti za verjetnosti: P (A | B) = 0,8 in P (B) = 0,5. Verjetnost P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.
Čeprav zgornji primer prikazuje, kako deluje formula, morda ni najbolj osvetljujoč, kako uporabna je zgornja formula. Zato bomo razmislili o še enem primeru. Obstaja srednja šola s 400 dijaki, od tega 120 moških in 280 žensk. Od samcev je trenutno 60% vpisanih na tečaj matematike. 80% žensk je trenutno vpisanih na tečaj matematike. Kolikšna je verjetnost, da je naključno izbrana študentka ženska, ki je vpisana v tečaj matematike?
Tu smo pustili F označujejo dogodek "Izbrani študent je ženska" in M dogodek "Izbrani študent je vpisan v predmet matematika." Določiti moramo verjetnost presečišča teh dveh dogodkov ali P (M ∩ F).
Zgornja formula nam to dokazuje P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). Verjetnost, da je izbrana samica, je P (F) = 280/400 = 70%. Pogojna verjetnost, da je izbrani študent vpisan v matematični predmet, glede na to, da je bila izbrana samica, je P (M | F) = 80%. Te verjetnosti pomnožimo skupaj in vidimo, da imamo 80% x 70% = 56% verjetnost izbire študentke, ki je vpisana v matematični predmet.
Test neodvisnosti
Zgornja formula, ki se nanaša na pogojno verjetnost in verjetnost križišča, nam omogoča preprost način, da ugotovimo, ali imamo opravka z dvema neodvisnima dogodkoma. Od dogodkov A in B so neodvisni, če P (A | B) = P (A), iz zgornje formule izhaja, da dogodki A in B so neodvisni samo in samo, če:
P (A) x P (B) = P (A ∩ B)
Če to vemo P (A) = 0.5, P (B) = 0,6 in P (A ∩ B) = 0,2, ne da bi vedeli kaj drugega, lahko ugotovimo, da ti dogodki niso neodvisni. To vemo, ker P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. To ni verjetnost presečišča A in B.