Iz verjetnosti lahko sklepamo na več teoremov aksiomi verjetnosti. Te teoreme lahko uporabimo za izračun verjetnosti, za katere bi morda želeli vedeti. Eden takšnih rezultatov je znan kot pravilo dopolnjevanja. Ta izjava nam omogoča, da izračunamo verjetnost dogodekA s poznavanjem verjetnosti komplementa AC. Po navedbi pravila dopolnjevanja bomo videli, kako lahko ta rezultat dokažemo.
Pravilo dopolnjevanja
Dopolnitev dogodka A je označen s AC. Dopolnilo A ali je nabor vseh elementov v univerzalnem sklopu, ali vzorčni prostor S, ki niso elementi niza A.
Pravilo dopolnjevanja je izraženo z naslednjo enačbo:
P (AC) = 1 - P (A)
Tu vidimo, da morata verjetnost dogodka in verjetnost njegovega dopolnjevanja ustrezati 1.
Dokazilo o dopolnilnem pravilu
Za dokazovanje pravila dopolnjevanja začnemo z aksiomi verjetnosti. Te izjave se domnevajo brez dokazov. Videli bomo, da jih je mogoče sistematično uporabiti za dokazovanje naše izjave o verjetnosti dopolnitve nekega dogodka.
- Prvi aksiom verjetnosti je, da verjetnost katerega koli dogodka ni negativna resnično število.
- Drugi aksiom verjetnosti je verjetnost celotnega vzorčnega prostora S je eno. Simbolično pišemo P (S) = 1.
- Tretji aksiom verjetnosti pravi, da Če A in B se med seboj izključujejo (kar pomeni, da imajo prazno križišče), nato navedemo verjetnost združitev teh dogodkov kot P (A U B ) = P (A) + P (B).
Za pravilo dopolnjevanja nam ne bo treba uporabiti prvega aksioma na zgornjem seznamu.
Za dokazovanje svoje trditve štejemo dogodke Ain AC. Iz teorije množic vemo, da imata ta dva niza preseka. To je zato, ker element ne more biti hkrati v obeh A in ne v A. Ker je križišče prazno, sta ta dva niza medsebojno izključujeta.
Združitev obeh dogodkov A in AC so prav tako pomembne. Ti pomenijo izčrpne dogodke, kar pomeni, da je treba zveza teh dogodkov je ves vzorčni prostor S.
Ta dejstva v kombinaciji z aksiomi nam dajejo enačbo
1 = P (S) = P (A U AC) = P (A) + P (AC) .
Prva enakost je posledica drugega verjetnega aksioma. Druga enakost je zato, ker dogodki A in AC so izčrpni. Tretja enakost je zaradi tretjega aksioma verjetnosti.
Zgornjo enačbo lahko preuredimo v obliko, ki smo jo navedli zgoraj. Vse, kar moramo storiti, je odšteti verjetnost A z obeh strani enačbe. Tako
1 = P (A) + P (AC)
postane enačba
P (AC) = 1 - P (A).
Seveda lahko pravilo izrazimo tudi z navedbo, da:
P (A) = 1 - P (AC).
Vse tri te enačbe so enakovredni načini reči iste stvari. Iz tega dokaza vidimo, kako gresta samo dva aksioma in neka teorija množic, da nama pomagata dokazati nove trditve o verjetnosti.