Ko se ukvarjamo s teorija množic, obstaja veliko operacij za izdelavo novih nizov iz starih. Ena najpogostejših nastavljenih operacij se imenuje križišče. Preprosto rečeno, presečišče dveh sklopov A in B je nabor vseh elementov, ki sta oba A in B imajo skupnega.
Ogledali si bomo podrobnosti v zvezi s presečiščem v teoriji množic. Kot bomo videli, je tukaj ključna beseda "in".
Primer
Za primer, kako tvori presečišče dveh sklopov a nov komplet, upoštevajmo nabore A = {1, 2, 3, 4, 5} in B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Da bi našli stičišče teh dveh sklopov, moramo ugotoviti, katere elemente imata skupnega. Številke 3, 4, 5 so elementi obeh sklopov, torej presečišča A in B je {3. 4. 5].
Oznaka za križišče
Poleg razumevanja konceptov v zvezi s operacijami teorije množic je pomembno, da lahko beremo tudi simbole, ki jih označujemo. Simbol za križišče se včasih nadomesti z besedo "in" med dvema nizoma. Ta beseda nakazuje bolj kompaktno označitev križišča, ki se običajno uporablja.
Simbol, uporabljen za presečišče obeh sklopov
A in B je dal z A ∩ B. Eden od načinov zapomniti, da se ta simbol ∩ nanaša na presečišče, je opaziti njegovo podobnost velikemu tisku A, ki je kratek za besedo "in".Če si želite ogledati to notacijo, glejte zgornji primer. Tu smo imeli komplete A = {1, 2, 3, 4, 5} in B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Tako bi napisali nastavljeno enačbo A ∩ B = {3, 4, 5}.
Križišče s praznim nizom
Ena osnovna identiteta, ki vključuje presečišče, nam pokaže, kaj se zgodi, ko vzamemo presečišče katerega koli niza s praznim nizom, označeno z # 8709. Prazen niz je niz brez elementov. Če v vsaj enem od nizov ni elementov, za katere poskušamo najti presečišče, potem dva niza nimata skupnih elementov. Z drugimi besedami, presečitev katerega koli niza s prazen komplet nam bo dal prazen komplet.
Ta identiteta z uporabo naše notacije postane še bolj kompaktna. Imamo identiteto: A ∩ ∅ = ∅.
Križišče z univerzalnim nizom
Za drugo skrajnost, kaj se zgodi, ko preučimo presečišče niza z univerzalnim nizom? Podobno kot beseda vesolje se v astronomiji uporablja za pomen vsega, univerzalni sklop vsebuje vsak element. Iz tega sledi, da je vsak element našega niza tudi element univerzalnega niza. Tako je presečitev katerega koli niza z univerzalnim nizom tista, s katero smo začeli.
Ponovno nam pomaga, da se ta identiteta bolj jedrnato izrazi. Za kateri koli komplet A in univerzalni komplet U, A ∩ U = A.
Druge identitete, ki vključujejo križišče
Obstaja veliko več enačb, ki vključujejo uporabo križišča. Seveda je vedno dobro vadite z uporabo jezika teorije množic. Za vse sklope A, in B in D imamo:
- Odsevna lastnost: A ∩ A =A
- Komutativna lastnost: A ∩ B = B ∩ A
- Pridružitvena lastnina: (A ∩ B) ∩ D =A ∩ (B ∩ D)
- Distributivna lastnost: (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D)∪ (B ∩ D)
- Zakon DeMorgan I: (A ∩ B)C = AC ∪ BC
- Zakon DeMorgan II: (A ∪ B)C = AC ∩ BC