Pogojna verjetnost: zapis in primeri

Preprost primer pogojno verjetnost je verjetnost, da je kartica, sestavljena iz običajnega kroga kart, kralj. Od 52 kart so skupno štirje kralji in tako je verjetnost preprosto 4/52. V povezavi s tem izračunom je naslednje vprašanje: "Kolikšna je verjetnost, da bomo glede na to narisali kralja iz palube smo že izvlekli karto in to je as? «Tu razmislimo o vsebini krova v kartice. Še vedno obstajajo štirje kralji, zdaj pa je v palubi le 51 kart. Verjetnost risanja kralja glede na to, da je as že bil izžreban, je 4/51.

Pogojna verjetnost je definirana kot verjetnost dogodka glede na to, da se je zgodil drug dogodek. Če poimenujemo te dogodke A in B, potem lahko govorimo o verjetnosti A dano B. Lahko bi se sklicevali tudi na verjetnost A odvisen od B.

Pojem pogojne verjetnosti se razlikuje od učbenika do učbenika. V vseh zapisih je navedba, da je verjetnost, na katero govorimo, odvisna od drugega dogodka. Eden najpogostejših zapisov za verjetnost A dano B je P (A | B). Še en zapis, ki se uporablja, je P_B(A).

Obstaja formula pogojne verjetnosti, ki to povezuje z verjetnostjo A in B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

V bistvu pravi ta formula, da izračunamo pogojno verjetnost dogodka A glede na dogodek B, spremenimo svoj vzorčni prostor, da je sestavljen samo iz niza B. Pri tem ne upoštevamo vseh dogodkov A, vendar le del A ki je tudi v B. Nabor, ki smo ga pravkar opisali, lahko v bolj znanih izrazih označimo kot križišče od A in B.

Lahko uporabimo algebra da zgornjo formulo izrazimo na drugačen način:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Ponovno bomo pregledali primer, s katerim smo začeli glede na te informacije. Želimo vedeti verjetnost risanja kralja glede na to, da je že bil izžreban as. Tako dogodek A je, da narišemo kralja. Dogodek B je, da narišemo asa.

Verjetnost, da se zgodita oba dogodka in narišemo asa in nato kralj ustreza P (A ∩ B). Vrednost te verjetnosti je 12/2652. Verjetnost dogodka B, da narišemo asa je 4/52. Tako uporabimo formulo pogojne verjetnosti in vidimo, da je verjetnost risanja kralja, ki je bil dodan kot as, (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Za drug primer si bomo ogledali verjetnostni eksperiment, kjer smo zvite dve kocki. Vprašanje, ki bi si ga lahko zastavili, je: "Kolikšna je verjetnost, da smo zavili trojko, glede na to, da smo zbrali manj kot šest?"

Tu je dogodek A je, da smo zavili trojko in dogodek B je, da smo znesli manj kot šest. Obstaja skupno 36 načinov, kako valjati dve kocki. Od teh 36 načinov lahko zberemo vsoto, manjšo od šestih na deset načinov:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Obstaja nekaj primerov, v katerih je pogojna verjetnost A glede na dogodek B je enako verjetnosti A. V tej situaciji pravimo, da dogodki A in B so neodvisni drug od drugega. Zgornja formula postane:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

in si povrnemo formulo, da je za neodvisne dogodke verjetnost obeh A in B ugotovimo z množenjem verjetnosti vsakega od teh dogodkov:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Če sta dva dogodka neodvisna, to pomeni, da en dogodek nima vpliva na drugega. Prestavljanje enega kovanca in nato drugega je primer neodvisnih dogodkov. Eden kovanec ne vpliva na drugega.

Bodite zelo previdni, da ugotovite, kateri dogodek je odvisen od drugega. Na splošno P (A | B) ni enako P (B | A). To je verjetnost A glede na dogodek B ni isto kot verjetnost B glede na dogodek A.

V zgornjem primeru smo videli, da je bila pri kotaljenju dveh kock verjetnost, da smo valjali tri, glede na to, da smo zvišali vsoto manj kot šest, 4/10. Po drugi strani pa je kolikšna je verjetnost, da dobimo vsoto, manjšo od šestih, glede na to, da smo tri zavili? Verjetnost prevračanja trojice in vsote manj kot šest je 4/36. Verjetnost, da se vsaj eden od treh valja, je 11/36. Torej je pogojna verjetnost v tem primeru (4/36) / (11/36) = 4/11.