Funkcija ustvarjanja trenutka za binomno porazdelitev

Srednja vrednost in varianca naključne spremenljivke X z binomna porazdelitev verjetnosti je težko izračunati neposredno. Čeprav je lahko jasno, kaj je treba storiti pri uporabi definicije pričakovana vrednost od X in X², dejanska izvedba teh korakov je prepreden žongliranje algebre in seštevanja. Nadomestni način za določitev srednje in variance a binomna porazdelitev je uporaba funkcija za ustvarjanje trenutka za X.

Začnite z naključno spremenljivko X in opišite porazdelitev verjetnosti natančneje. Izvedite n neodvisne preskuse Bernoullija, od katerih ima vsaka verjetnost uspeha str in verjetnost neuspeha 1 - str. Tako je verjetnostna masa funkcija

f (x) = C(n, x)str^x(1 – str)^{n - x}

Tu je izraz C(n, x) pomeni število kombinacij n odvzeti elementi x naenkrat in x lahko sprejme vrednosti 0, 1, 2, 3,. .., n.

To funkcijsko maso verjetnosti uporabite za pridobitev funkcije generiranja trenutka X:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿe^txC(n,x)>)str^x(1 – str)^{n - x}.

Postane jasno, da lahko izraze kombinirate z eksponentom x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^t)^xC(n,x)>)(1 – str)^{n - x}.

Poleg tega je z uporabo binomne formule zgornji izraz preprosto:

M(t) = [(1 – str) + pe^t]ⁿ.

Da bi našli pomeni in variance, boste morali vedeti oboje M(0) in M’’(0). Začnite z izračunom izvedenih finančnih instrumentov in nato ocenite vsakega od njih na t = 0.

Videli boste, da je prva izvedenica funkcije ustvarjanja trenutka:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – str) + pe^t]^{n - 1}.

Iz tega lahko izračunate srednjo porazdelitev verjetnosti. M(0) = n(pe⁰)[(1 – str) + pe⁰]^{n - 1} = np. To se ujema z izrazom, ki smo ga dobili neposredno iz definicije srednje.

Izračun variance se izvede na podoben način. Najprej ponovno ločimo funkcijo za ustvarjanje trenutka in nato ocenimo to izpeljanko pri t = 0. Tu boste videli to

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – str) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – str) + pe^t]^{n - 1}.

Za izračun variance te naključne spremenljivke morate najti M’’(t). Tukaj imate M’’(0) = n(n - 1)str² +np. Variacija σ² vaše distribucije je

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)str² +np - (np)² = np(1 - str).

Čeprav je ta metoda nekoliko vključena, ni tako zapletena kot izračun povprečja in odstopanja neposredno od funkcije verjetnostne mase.