Eksponentne funkcije pripovedujejo zgodbe eksplozivnih sprememb. Dve vrsti eksponentnih funkcij sta eksponentna rast in eksponentno razpadanje. Štiri spremenljivke (odstotek spremembe, čas, količina na začetku časovnega obdobja in znesek na koncu časovnega obdobja) igrajo vloge v eksponentnih funkcijah. Z uporabo eksponentne funkcije razpadanja poiščite količino na začetku časovnega obdobja.
Eksponentni razpad
Eksponentni razpad je sprememba, ki nastane, ko se prvotni znesek v določenem časovnem obdobju zmanjša z enakomerno hitrostjo.
Tu je funkcija eksponentnega razpada:
y = a (1-b)x
- y: Končni znesek, ki ostane nekaj časa po razpadu
- a: Prvotna količina
- x: Čas
- Faktor razpada je (1-b)
- Spremenljivka b je odstotek zmanjšanja v decimalni obliki.
Namen iskanja prvotne količine
Če berete ta članek, potem ste verjetno ambiciozni. Šest let od zdaj, morda želite nadaljevati dodiplomski študij na Univerzi Dream. Dream University s ceno 120.000 dolarjev izzove finančne nočne groze. Po neprespanih nočeh se mama, oče in oče srečata s finančnim načrtovalcem. Krvave oči vaših staršev se zbistrijo, ko načrtovalec razkrije, da naložba z osemodstotno stopnjo rasti lahko vaši družini pomaga doseči cilj 120.000 dolarjev. Veliko se učiti. Če danes in vaši starši vložite 75.620,36 dolarja, bo Dream University zaradi eksponentnega razpada postala vaša resničnost.
Kako rešiti
Ta funkcija opisuje eksponentno rast naložbe:
120,000 = a(1 +.08)6
- 120.000: Končni znesek, ki ostane po šestih letih
- .08: Letna stopnja rasti
- 6: Število let za rast naložbe
- a: Začetni znesek, ki ga je vložila vaša družina
Zahvaljujoč simetrični lastnosti enakosti 120.000 = a(1 +.08)6 je isto kot a(1 +.08)6 = 120,000. Simetrična lastnost enakosti pravi, da če je 10 + 5 = 15, potem je 15 = 10 + 5.
Če raje napišete enačbo s konstanto (120.000) na desni strani enačbe, potem to storite.
a(1 +.08)6 = 120,000
Če enačba ni enaka kot linearna enačba (6a = 120.000 dolarjev), vendar je rešljivo. Držite se tega!
a(1 +.08)6 = 120,000
Te eksponentne enačbe ne rešite tako, da delite 120.000 na 6. To je mamljiva matematika ne-ne.
1. Za poenostavitev uporabite vrstni red operacij
a(1 +.08)6 = 120,000
a(1.08)6 = 120.000 (Parenteza)
a(1.586874323) = 120.000 (eksponent)
2. Reši s delitev
a(1.586874323) = 120,000
a(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1a = 75,620.35523
a = 75,620.35523
Prvotni znesek za naložbo je približno 75 620,36 USD.
3. Zamrzovanje: še niste končali; za preverjanje odgovora uporabite vrstni red operacij
120,000 = a(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Parenteza)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (eksponent)
120.000 = 120.000 (množenje)
Odgovori in pojasnila na vprašanja
Woodforest, Teksas, predmestje Houstona, je odločen, da bo zaprl digitalni razkorak v svoji skupnosti. Pred nekaj leti so voditelji skupnosti odkrili, da so njihovi državljani računalniško nepismeni. Niso imeli dostopa do internet in so bili izključeni z informacijske magistrale. Voditelji so vzpostavili svetovni splet na kolesih, nabor mobilnih računalniških postaj.
World Wide Web on Wheels je v Woodforestu dosegel svoj cilj le 100 računalniško nepismenih državljanov. Voditelji skupnosti so preučevali mesečni napredek svetovnega spleta na kolesih. Po podatkih lahko upad računalniško nepismenih državljanov opišemo z naslednjo funkcijo:
100 = a(1 - .12)10
1. Koliko ljudi je računalniško nepismenih 10 mesecev po ustanovitvi svetovnega spleta na kolesih?
- 100 ljudi
Primerjajte to funkcijo z izvirno eksponentno funkcijo rasti:
100 = a(1 - .12)10
y = a (1 + b)x
The spremenljivkay predstavlja število računalniško nepismenih ljudi ob koncu 10 mesecev, zato je 100 ljudi še vedno računalniško nepismenih, potem ko je svetovni splet na kolesih začel delovati v skupnosti.
2. Ali ta funkcija predstavlja eksponentno razpadanje ali eksponentno rast?
- Ta funkcija predstavlja eksponentno razpadanje, ker pred odstotek spremembe (.12) stoji negativni znak.
3. Kakšna je mesečna stopnja sprememb?
- 12 odstotkov
4. Koliko ljudi je bilo računalniško nepismenih pred 10 meseci ob ustanovitvi svetovnega spleta na kolesih?
- 359 ljudi
Uporabavrstni red operacij poenostaviti.
100 = a(1 - .12)10
100 = a(.88)10 (Parenteza)
100 = a(.278500976) (eksponent)
Delite, da rešite.
100(.278500976) = a(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1a
359.0651689 = a
Za preverjanje odgovora uporabite vrstni red operacij.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Parenteza)
100 = 359.0651689 (.278500976) (eksponent)
100 = 100 (pomnoži)
5. Če se bodo ti trendi nadaljevali, koliko ljudi bo računalniško nepismenih 15 mesecev po ustanovitvi svetovnega spleta na kolesih?
- 52 ljudi
Dodajte, kaj veste o funkciji.
y = 359.0651689(1 - .12) x
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Če želite najti, uporabite vrstni red operacij y.
y = 359.0651689(.88)15 (Parenteza)
y = 359.0651689 (.146973854) (eksponent)
y = 52,77319167 (Pomnoži).