Pričakovana vrednost binomne porazdelitve

Binomne porazdelitve so pomemben razred diskretnih verjetnostne porazdelitve. Te vrste distribucij so vrsta n neodvisna preskušanja Bernoullija, od katerih ima vsako stalno verjetnost str uspeha. Kot pri vsaki porazdelitvi verjetnosti bi tudi mi radi vedeli, kakšno je njeno središče ali središče. Zato se v resnici sprašujemo: »Kaj je tisto pričakovana vrednost binomne porazdelitve? "

Če skrbno razmišljamo o a binomna porazdelitev, ni težko določiti pričakovanega vrednost te vrste porazdelitve verjetnosti je np Za nekaj hitrih primerov upoštevajte naslednje:

• Če vržemo 100 kovancev, in X je število glav, pričakovana vrednost X je 50 = (1/2) 100.
• Če sprejemamo večkratni test z 20 vprašanji in vsako vprašanje ima štiri možnosti (samo eno od kar je pravilno), potem bi naključno ugibanje pomenilo, da pričakujemo le (1/4) 20 = 5 vprašanj pravilno.

V obeh teh primerih to vidimo E [X] = n str. Dva primera komajda zadostujeta za zaključek. Čeprav je intuicija dobro orodje, ki nas vodi, ni dovolj, da oblikujemo matematični argument in dokažemo, da je nekaj res. Kako dokončno dokažemo, da je pričakovana vrednost te porazdelitve resnično

Iz opredelitve pričakovane vrednosti in funkcije verjetnostne mase za binomna porazdelitev od n preizkuse verjetnosti uspeha str, lahko pokažemo, da se naša intuicija ujema s plodovi matematične strogosti. Pri svojem delu moramo biti nekoliko previdni in spretni pri manipulacijah binomskega koeficienta, ki ga daje formula za kombinacije.

Začnemo s formulo:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) str^x(1-p)^{n - x}.

Ker se vsak izraz seštevanja pomnoži s x, vrednost izraza, ki ustreza x = 0 bo 0 in tako lahko dejansko zapišemo:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) str ^x (1 - p) ^{n - x} .

Z manipulacijo faktorjev, vključenih v izraz za C (n, x) lahko ponovno napišemo

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

To velja, ker:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Sledi, da:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) str ^x (1 - p) ^{n - x} .

Upoštevamo dejavnike n in eno str iz zgornjega izraza:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) str ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

Sprememba spremenljivk r = x - 1 nam daje:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r) str ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

Po binomni formuli oz. (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} zgornji povzetek je mogoče na novo napisati:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np

Zgornji argument nas je popeljal daleč. Že od začetka šele z opredelitvijo pričakovane vrednosti in verjetnostne masene mase za binomno porazdelitev smo dokazali, kar nam je povedala naša intuicija. Pričakovana vrednost binomna porazdelitevB (n, p) je n p.