Ko opazimo formule, ki jih je učbenik natisnil ali jih je na tablo napisal učitelj, je včasih presenetljivo ugotoviti, da je veliko teh formul mogoče izpeljati iz nekaterih temeljnih definicij in skrbnega razmišljanja. To še posebej velja pri pregledu formule kombinacij. Izpeljava te formule se res samo opira na načelo množenja.
Načelo množenja
Recimo, da je treba opraviti nalogo in to nalogo razdeliti na skupno dva koraka. Prvi korak je mogoče storiti v k načine in drugi korak je mogoče storiti n načine. To pomeni, da po množenje teh številk skupaj je število načinov za opravljanje naloge nk.
Na primer, če imate na izbiro deset vrst sladoleda in tri različne prelive, koliko ene zajemalke, ene prelivne odeje lahko naredite? Pomnožite tri z 10, da dobite 30 sončkov.
Oblikovanje permutacij
Zdaj uporabite načelo množenja, da dobite formulo za število kombinacij r elementi, vzeti iz niza n elementi. Pustiti P (n, r) označujejo število permutacije od r elementi iz niza n in C (n, r) označujejo število kombinacij r elementi iz niza n elementi.
Pomislite, kaj se zgodi pri oblikovanju permutacije r elementov iz skupaj n. Na to glejte kot na dvostopenjski postopek. Najprej izberite niz r elementi iz niza n. To je kombinacija in obstajajo C(n, r) načine za to. Drugi korak v postopku je naročilo r elementi s r izbire za prvega, r - 1 izbira za drugo, r - 2 za tretjo, 2 izbiri za predzadnjo in 1 za zadnjo. Po načelu množenja obstajajo r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! načine za to. Ta formula je napisana s faktografski zapis.
Izpeljava formule
Če želite povzet, P(n,r ), število načinov za oblikovanje permutacije r elementov iz skupaj n določa:
- Oblikovanje kombinacije r elementov od skupaj n v katerem koli izmed C(n,r ) načine
- Naročilo teh r elementi katerega koli od r! načine.
Po načelu množenja je število načinov za oblikovanje permutacije P(n,r ) = C(n,r ) x r!.
Uporaba formule za permutacije P(n,r ) = n!/(n - r)!, ki ga lahko nadomestimo z zgornjo formulo:
n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.
Zdaj rešite to, število kombinacij, C(n,r ), in glej to C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].
Kot je prikazano, lahko malo razmišljanja in algebre gre daleč. Druge verjetnostne in statistične formule lahko dobimo tudi z nekaj skrbnimi aplikacijami definicij.