Variacija porazdelitve naključne spremenljivke je pomembna lastnost. Ta številka označuje širjenje porazdelitve, ugotovimo pa jo z odštevanjem standardni odklon. Eden najpogosteje uporabljenih diskretnih distribucija je distribucija Poissona. Videli bomo, kako izračunati varianco Poissonove porazdelitve s parametrom λ.
Poissonova distribucija
Poissonove porazdelitve uporabljamo, kadar imamo nekakšen kontinuum in štejemo diskretne spremembe znotraj tega kontinuuma. To se zgodi, če upoštevamo število ljudi, ki pridejo na števec vozovnic za eno uro, in to spremljamo število avtomobilov, ki potujejo skozi križišče s štirismernim postankom, ali štejejo število napak v dolžini žica.
Če v teh scenarijih naredimo nekaj razjasnitvenih predpostavk, potem te situacije ustrezajo pogojem za Poissonov postopek. Nato rečemo, da ima naključna spremenljivka, ki šteje število sprememb, Poissonovo porazdelitev.
Poissonova distribucija se dejansko nanaša na neskončno družino razdelitev. Te distribucije so opremljene z enim parametrom λ. Parameter je pozitiven
resnično število to je tesno povezano s pričakovanim številom sprememb, opaženih v kontinuumu. Poleg tega bomo videli, da je ta parameter enak ne le pomeni porazdelitve, pa tudi varianco porazdelitve.Funkcijo mase verjetnosti za Poissonovo porazdelitev poda:
f(x) = (λxe-λ)/x!
V tem izrazu slov e je številka in je matematična konstanta z vrednostjo približno enako 2.718281828. Spremenljivka x je lahko katero koli negativno celo število.
Izračun variance
Za izračun povprečne vrednosti Poissonove porazdelitve uporabimo te porazdelitve funkcija za ustvarjanje trenutka. To vidimo:
M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!
Zdaj se spominjamo serije Maclaurin za eu. Ker je kateri koli izvod funkcije eu je eu, vsi ti derivati, ovrednoteni na nič, nam dajo 1. Rezultat je serija eu = Σ un/n!.
Z uporabo serije Maclaurin za eu, lahko funkcijo ustvarjanja trenutka izrazimo ne kot niz, temveč v zaprti obliki. Vse izraze kombiniramo s eksponentom x. Tako M(t) = eλ(et - 1).
Zdaj najdemo varianco z uporabo drugega izvoda M in to ocenjujemo na nič. Od M’(t) =λetM(t), s pomočjo pravila izdelka izračunamo drugo izpeljanko:
M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)
To ocenjujemo na nič in to ugotovimo M’’(0) = λ2 + λ. Nato uporabimo dejstvo, da M'(0) = λ za izračun variance.
Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
To kaže, da parameter λ ni samo srednja vrednost Poissonove porazdelitve, ampak je tudi njegova varianca.