Verjetnosti za valjanje treh kock

Kocke ponujajo odlične ilustracije za pojmi v verjetnosti. Najpogosteje se uporabljajo kocke s šestimi stranicami. Tukaj bomo videli, kako izračunati verjetnosti za valjanje treh standardnih kock. Izračunavanje verjetnosti vsote, dobljene s, je relativno standardna težava valjanje dveh kock. Skupaj je 36 različnih zvitkov z dvema kockama, pri čemer je možno vsoto od 2 do 12.Kako se težava spremeni, če dodamo več kock?

Tako kot ena die ima šest izidov, dva kocka pa 6² = 36 izidov, verjetnostni poskus valjanja treh kock ima 6³ = 216 izidov. Ta ideja nadalje posplošuje več kock. Če se valjamo n kocke potem je 6ⁿ izidi.

Upoštevamo lahko tudi možne vsote pri valjanju več kock. Najmanjša možna vsota se pojavi, če so vse kocke najmanjše ali ena. Tako dobimo vsoto treh, ko valjamo tri kocke. Največje število matric je šest, kar pomeni, da se največji možni seštevek pojavi, ko so vse tri kocke šest. Vsota teh razmer je 18.

Kdaj n kocke se valjajo, najmanjši možni znesek je n največja vsota pa je 6n.

• Obstaja en način, kako lahko tri kocke skupaj 3
• 3 načine za 4
• 6 za 5
• 10 za 6
• 15 za 7
• 21 za 8
• 25 za 9
• 27 za 10
• 27 za 11
• 25 za 12
• 21 za 13
• 15 za 14
• 10 za 15
• 6 za 16
• 3 za 17
• 1 za 18

Kot je razloženo zgoraj, za tri kocke možni zneski vključujejo vsako številko od tri do 18. Verjetnosti je mogoče izračunati z uporabo strategije štetja in zavedamo se, da iščemo načine za razdelitev števila na točno tri celotne številke. Na primer, edini način za pridobitev tri vsote je 3 = 1 + 1 + 1. Ker je vsaka matrica neodvisna od drugih, lahko dobimo vsoto, kot je štiri, na tri različne načine:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Nadaljnje štetje argumentov je mogoče uporabiti za iskanje številnih načinov oblikovanja ostalih vsot. Sledijo razdelki za vsako vsoto:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Ko tri particije tvorijo particijo, na primer 7 = 1 + 2 + 4, so 3! (3x2x1) različne načine permuting te številke. Torej bi to štelo za tri rezultate v vzorčnem prostoru. Ko dve različni številki tvorita particijo, potem obstajajo trije različni načini zaznavanja teh številk.

Skupno število načinov za pridobitev vsake vsote razdelimo na skupno število rezultatov v vzorčni prostorali 216. Rezultati so:

• Verjetnost vsote 3: 1/216 = 0,5%
• Verjetnost vsote 4: 3/216 = 1,4%
• Verjetnost vsote 5: 6/216 = 2,8%
• Verjetnost vsote 6: 10/216 = 4,6%
• Verjetnost vsote 7: 15/216 = 7,0%
• Verjetnost vsote 8: 21/216 = 9,7%
• Verjetnost vsote 9: 25/216 = 11,6%
• Verjetnost vsote 10: 27/216 = 12,5%
• Verjetnost vsote 11: 27/216 = 12,5%
• Verjetnost vsote 12: 25/216 = 11,6%
• Verjetnost vsote 13: 21/216 = 9,7%
• Verjetnost vsote 14: 15/216 = 7,0%
• Verjetnost vsote 15: 10/216 = 4,6%
• Verjetnost vsote 16: 6/216 = 2,8%
• Verjetnost vsote 17: 3/216 = 1,4%
• Verjetnost vsote 18: 1/216 = 0,5%

Kot je razvidno, sta skrajni vrednosti 3 in 18 najmanj verjetni. Vsote, ki so točno na sredini, so najbolj verjetne. To ustreza tistemu, kar smo opazili pri valjanju dveh kock.