Matematične lastnosti valov

Fizični valovi, ali mehanski valovi, nastanejo z vibracijo medija, pa naj bo to struna, zemeljska skorja ali delci plinov in tekočin. Valovi imajo matematične lastnosti, ki jih je mogoče analizirati, da razumemo gibanje vala. Ta članek predstavlja te splošne lastnosti valov, namesto kako jih uporabiti v posebnih fizičnih situacijah.

Obstajata dve vrsti mehanskih valov.

A je tak, da so premiki medija pravokotni (prečni) na smer potovanja vala vzdolž medija. Vibriranje vrvice v občasnem gibanju, zato se valovi premikajo po njej, je prečni val, prav tako valovi v oceanu.

A vzdolžni val je tak, da so premiki medija naprej in nazaj po isti smeri kot sam val. Zvočni valovi, pri katerih se zračni delci potiskajo v smeri vožnje, so primer vzdolžnega vala.

Čeprav se bodo valovi, obravnavani v tem članku, nanašali na potovanje v mediju, lahko tu predstavljeno matematiko analiziramo lastnosti nemehanskih valov. Na primer, elektromagnetno sevanje lahko potuje skozi prazen prostor, vendar ima enake matematične lastnosti kot drugi valovi. Na primer

1. Na valove lahko gledamo kot na motnjo v mediju okoli ravnovesnega stanja, ki je na splošno v mirovanju. Energija te motnje je tisto, kar povzroči gibanje valov. Bazen vode je v ravnovesju, ko ni valov, a takoj, ko se vanj vrže kamen, se ravnovesje delcev moti in začne se gibanje valov.
2. Motnja valovanja potuje, ali predlagateljev, z določeno hitrostjo, imenovano valovna hitrost (v).
3. Valovi prevažajo energijo, vendar ni važno. Sam medij ne potuje; posamezni delci se gibajo naprej-nazaj ali navzgor in navzdol okoli ravnotežnega položaja.

Da matematično opišemo gibanje valov, navajamo koncept a valovna funkcija, ki opisuje položaj delca v mediju kadarkoli. Najbolj osnovne valovne funkcije je sinusni val ali sinusoidni val, ki je a periodični val (to je val z ponavljajočim se gibanjem).

Pomembno je opozoriti, da valovna funkcija ne prikazuje fizičnega vala, ampak gre za graf premika o ravnotežnem položaju. To je lahko zmeden koncept, koristno pa je, da lahko s sinuzoidnim valom upodobimo večino periodičnih gibi, na primer premikanje v krogu ali nihanje nihala, ki niso nujno valovni, ko gledate dejansko gibanje.

• valovna hitrost (v) - hitrost širjenja vala
• amplituda (A) - največja velikost premika iz ravnovesja, v enotah SI metrov. Na splošno gre za razdaljo od ravnovesne sredine vala do njegovega največjega premika ali pa je za polovico skupnega premika vala.
• obdobje (T) - je čas za en valovni cikel (dva impulza ali od grebena do grebena ali korita do korita) v enotah SI sekund (čeprav se lahko imenuje "sekund na cikel").
• frekvenco (f) - število ciklov v enoti časa. SI enota frekvence je hertz (Hz) in

  1 Hz = 1 cikel / s = 1 s^-1

• kotna frekvenca (ω) - je 2π krat večja od frekvence v SI enotah radianov na sekundo.
• valovna dolžina (λ) - razdalja med dvema točkama na ustreznih položajih na zaporednih ponovitvah v valu, torej (na primer) od enega grebena ali korita do drugega, v SI enote metrov.
• valovno število (k) - imenovan tudi konstanta širjenja, je ta uporabna količina opredeljena kot 2 π deljeno z valovno dolžino, zato so enote SI radiani na meter.
• pulz - ena polovica valovne dolžine, od ravnotežja nazaj

Nekaj ​​uporabnih enačb pri definiranju zgornjih količin so:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π ž = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Navpični položaj točke na valu, y, je mogoče najti kot funkcijo vodoravnega položaja, xin čas, t, ko ga pogledamo. Zahvaljujemo se prijaznim matematikom, ki so nam opravili to delo in pridobili naslednje uporabne enačbe za opis gibanja valov:

y(x, t) = A greh ω(t - x/v) = A greh 2π ž(t - x/v)

y(x, t) = A greh 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = A greh (ω t - kx)

Zadnja lastnost valovne funkcije je uporaba računanje vzeti drugo izpeljano finančno vrednost valovna enačba, ki je zanimiv in včasih uporaben izdelek (za kar se bomo matematikom še enkrat zahvalili in sprejeli, ne da bi to dokazali):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

Drugi derivat y s spoštovanjem do x je ekvivalentno drugemu izpeljanki y s spoštovanjem do t deljeno s hitrostjo vala v kvadraturi. Ključna uporabnost te enačbe je ta kadarkoli se zgodi, vemo, da funkcija y deluje kot val z valovno hitrostjo v in zato, situacijo lahko opišemo s pomočjo valovne funkcije.