Niso vsi neskončni nizi enaki. Eden od načinov, kako razlikovati med temi množicami, je, da vprašamo, če je niz mogoče šteti neskončno ali ne. Na ta način pravimo, da so neskončne množice bodisi števljive bodisi neštete. Upoštevali bomo več primerov neskončnih množic in določili, kateri od teh je nešteven.
Število neskončno
Začnemo z izključitvijo več primerov neskončnih množic. Številne neskončne množice, na katere bi takoj pomislili, so ugotovljene kot neskončno neskončne. To pomeni, da jih je mogoče spraviti v medsebojno ujemanje z naravnimi števili.
Naravna števila, cela števila in racionalna števila so vse neskončno neskončna. Upošteva se lahko tudi vsaka zveza ali presečišče številčno neskončnih nizov. Karteški izdelek poljubnega števila števljivih nizov je mogoče šteti. Prav tako je mogoče šteti vsako podmnožico številskega niza.
Nešteto
Najpogostejši način vnašanja neštetih nizov je upoštevanje intervala (0, 1) od realne številke. Iz tega dejstva in funkcije ena na ena f( x ) = bx
+ a. to je naravnost, ki kaže, da kateri koli interval (a, b) realnih številk je neskončno neskončno.Celoten nabor resničnih številk je tudi nešteven. Eden od načinov za prikaz tega je uporaba funkcije tangenta ena proti ena f ( x ) = porjavelost x. Področje te funkcije je interval (-π / 2, π / 2), množica, ki jo je mogoče šteti, razpon pa je množica vseh realnih števil.
Drugi sklopi, ki jih ni mogoče računati
Operacije osnovne teorije množic lahko uporabimo za izdelavo več primerov nešteto neskončnih nizov:
- Če A je podskupina B in A je nešteto, potem je tako B. To daje bolj preprost dokaz, da je celoten niz resničnih številk neizrekljiv.
- Če A se ne šteje in B je kateri koli niz, potem zveza A U B je tudi nešteto.
- Če A se ne šteje in B je kateri koli komplet, potem je kartuzijanski izdelek A x B je tudi nešteto.
- Če A je neskončno (celo neskončno neskončno) potem nabor moči od A je nešteto.
Še dva primera, ki sta povezana drug z drugim, sta nekoliko presenetljiva. Ni vsaka podmnožica resničnih števil neizmerno neskončna (resnična števila dejansko tvorijo števljivo podmnožico resničnih števil, ki je tudi gosta). Nekatere podskupine so neskončno neskončne.
Ena od teh neskončno neskončnih podskupin vključuje nekatere vrste decimalnih razširitev. Če izberemo dve številki in oblikujemo vsako možno decimalno širitev samo s tema dvema števkama, potem dobljeni neskončni niz ni mogoče šteti.
Drugi sklop je bolj zapleteno sestaviti in ga prav tako ni mogoče šteti. Začnite z zaprtim intervalom [0,1]. Odstranite srednjo tretjino tega niza in tako dobite [0, 1/3] U [2/3, 1]. Zdaj odstranite srednjo tretjino vsakega od preostalih kosov kompleta. Torej (1/9, 2/9) in (7/9, 8/9) se odstrani. Tako nadaljujemo. Nabor točk, ki ostanejo po odstranitvi vseh teh intervalov, ni interval, je pa neskončno neskončno. Ta komplet se imenuje Cantor Set.
Obstaja neskončno veliko neštetih sklopov, vendar so zgornji primeri nekaj najpogostejših srečanj.