Izračuni s funkcijo gama

The gama funkcija je definirana z naslednjo zapleteno videti formulo:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Eno vprašanje, ki ga imajo ljudje, ko prvič naletijo na to zmedeno enačbo, je: "Kako uporabite to formulo za izračun vrednosti gama funkcija? " To je pomembno vprašanje, saj je težko vedeti, kaj ta funkcija sploh pomeni in kaj vse simboli stojijo za.

Eden od načinov za odgovor na to vprašanje je pregled več vzorčnih izračunov s funkcijo gama. Preden to storimo, moramo vedeti nekaj stvari iz računa, na primer, kako vključiti neprimerni integral tipa I. in to e matematična konstanta.

Preden naredimo izračune, preučimo motivacijo teh izračunov. Velikokrat se gama funkcije pokažejo za kulisami. Glede na funkcijo gama je navedenih več funkcij gostote verjetnosti. Primeri teh so porazdelitev gama in t-distribucija študentov. Pomembnosti gama funkcije ni mogoče pretiravati.

Prvi primer izračuna, ki ga bomo preučili, je iskanje vrednosti gama funkcije za Γ (1). To ugotovimo z nastavitvijo z = 1 v zgornji formuli:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Zgornji integral izračunamo v dveh korakih:

• Neomejen integral ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• To je nepravilen sestavni del, zato imamo ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Naslednji primer izračuna, ki ga bomo upoštevali, je podoben zadnjem primeru, vendar povečamo vrednost z do 1. Zdaj z vrednostjo izračunamo vrednost gama funkcije za Γ (2) z = 2 v zgornji formuli. Koraki so enaki kot zgoraj:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Neomejen integral ∫te ^{- t}dt=- Te ^{- t} -e ^{- t} + C. Čeprav smo vrednost le povečali z za 1, je potrebno več dela, da se izračuna ta integral. Da bi našli ta integral, moramo uporabiti tehniko iz računice, znano kot integracija po delih. Zdaj uporabljamo meje integracije tako kot zgoraj in moramo izračunati:

lim_{b → ∞}- biti ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Rezultat računanja, ki ga poznamo kot pravilo L'Hospital, nam omogoča, da izračunamo zgornjo mejo_{b → ∞}- biti ^{- b} = 0. To pomeni, da je vrednost našega integrala zgoraj 1.

Druga značilnost gama funkcije in tista, ki jo povezuje z faktografski je formula Γ (z +1 ) =zΓ (z ) za z katero koli kompleksno število s pozitivno resnično del. Razlog, zakaj je to res, je neposreden rezultat formule funkcije gama. Z integracijo po delih lahko ugotovimo to lastnost gama funkcije.