Kakšna je pričakovana vrednost verjetnosti?

Ste na pustnem rajanju in vidite tekmo. Za 2 dolarja zavijete standardni šeststranski matriks. Če je prikazana številka šest, dobite 10 USD, sicer ne dobite nič. Če poskušate zaslužiti, ali vam je v interesu, da igrate igro? Za odgovor na takšno vprašanje potrebujemo koncept pričakovane vrednosti.

Pričakovano vrednost si res lahko predstavljamo kot naključno spremenljivko. To pomeni, da če ste izvajali verjetnostni eksperiment znova in znova, pri čemer spremljate rezultate, je pričakovana vrednost enaka povprečna vseh dobljenih vrednosti. Pričakovana vrednost je tisto, za kar bi morali pričakovati, da se bo zgodilo v mnogih preizkušnjah iger na srečo.

Zgoraj navedena pustna igra je primer diskretne naključne spremenljivke. Spremenljivka ni neprekinjena in vsak izid prihaja do nas v številu, ki ga lahko ločimo od ostalih. Najti pričakovano vrednost igre, ki ima rezultate x₁, x₂,..., x_n z verjetnostmi str₁, str₂,... , str_n, izračunajte:

x₁str₁ + x₂str₂ +... + x_nstr_n.

Za zgornjo igro imate 5/6 verjetnosti, da ne boste ničesar osvojili. Vrednost tega izida je -2, saj ste za igro porabili 2 USD. Šestica ima 1/6 verjetnost, da se prikaže, ta vrednost pa ima izid 8. Zakaj 8 in ne 10? Spet moramo upoštevati 2 $, ki smo jih plačali za igro, in 10 - 2 = 8.

Zdaj te vrednosti in verjetnosti priključite na pričakovane vrednostna formula in na koncu z: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. To pomeni, da morate dolgoročno pričakovati, da boste vsakič v tej igri izgubili približno 33 centov. Da, včasih boste zmagali. Toda izgubili boste pogosteje.

Zdaj pa predpostavimo, da je bila pustna igra nekoliko spremenjena. Za isto vstopnino v višini 2 USD, če je številka šest, potem dobite 12 USD, sicer ne dobite nič. Pričakovana vrednost te igre je -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Dolgoročno ne boste izgubili nobenega denarja, pa tudi nobenega ne boste osvojili. Ne pričakujte, da boste na lokalnem karnevalu videli igro s temi številkami. Če na dolgi rok ne boste izgubili denarja, potem karneval ne bo prinesel nobenega.

Zdaj pa se obrnite na igralnico. Na enak način kot prej lahko izračunamo pričakovano vrednost iger na srečo, kot je ruleta. V ZDA ima kolo rulete 38 oštevilčenih rež od 1 do 36, 0 in 00. Polovica 1-36 je rdeča, polovica črna. Oba in 00 sta zelena. Žoga naključno pristane v enem izmed igralnih mest in stave stavijo, kje bo žoga pristala.

Ena najpreprostejših stav je staviti na rdečo. Če stavite 1 dolar in žoga pristane na rdeči številki v kolesu, potem dobite 2 USD. Če žoga pristane na črnem ali zelenem prostoru v kolesu, potem nič ne osvojite. Kakšna je pričakovana vrednost pri stavi, kot je ta? Ker je 18 rdečih presledkov, obstaja verjetnost zmage 18/38, čisti dobiček znaša 1 dolar. Obstaja 20/38 verjetnost izgube začetne stave v višini 1 USD. Pričakovana vrednost te stave v ruleta je 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, kar je približno 5,3 centa. Tu ima hiša rahel rob (kot pri vseh igrah v igralnicah).

Kot drug primer upoštevajte a loterija. Čeprav je za ceno vozovnice za 1 dolar lahko pridobiti milijone, pričakovana vrednost loterijske igre kaže, kako nepošteno je zgrajena. Recimo, da za 1 dolar izberete šest številk od 1 do 48. Verjetnost pravilne izbire vseh šestih številk je 1 / 12,271,512. Če dobite milijon dolarjev, če dobite vseh šest pravilnih, kakšna je pričakovana vrednost te loterije? Možne vrednosti so - 1 dolar za izgubo in 999 999 dolarjev za zmago (spet moramo upoštevati stroške igranja in to odšteti od dobitkov). Tako dobimo pričakovano vrednost:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Če bi igrali na loteriji znova in znova, dolgoročno izgubite približno 92 centov - skoraj celotno ceno vstopnice - vsakič, ko igrate.

Vsi zgornji primeri izgledajo diskretno naključna spremenljivka. Vendar pa je mogoče določiti tudi pričakovano vrednost za neprekinjeno naključno spremenljivko. Vse, kar moramo storiti v tem primeru, je, da seštevek v naši formuli nadomestimo s integralom.

Pomembno si je zapomniti, da je pričakovana vrednost povprečna po številnih preskušanjih a naključni postopek. Kratkoročno se lahko povprečje naključne spremenljivke znatno razlikuje od pričakovane vrednosti.