Razlika dveh nizov, zapisanih A - B je nabor vseh elementov A ki niso elementi B. Delovanje razlike, skupaj s povezavo in križiščem, je pomembno in delovanje temeljne teorije množic.
Opis razlike
O odštevanju enega števila od drugega lahko razmišljamo na različne načine. En model za pomoč pri razumevanju tega koncepta se imenuje model odvzema odštevanje. V tem bi problem 5 - 2 = 3 prikazali tako, da začnemo s petimi predmeti, odvzamemo dva in štejemo, da so ostali trije. Na podoben način, ko ugotovimo razliko med dvema števkama, lahko najdemo tudi razliko dveh nizov.
Primer
Ogledali si bomo primer nastavljene razlike. Da vidim, kako razlika dva kompleti tvori nov niz, razmislimo o sklopih A = {1, 2, 3, 4, 5} in B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Da bi ugotovili razliko A - B od teh dveh sklopov začnemo s pisanjem vseh elementov Ain nato odvzeti vsak element A to je tudi element B. Od A deli elemente 3, 4 in 5 z B, to nam daje nastavljeno razliko A - B = {1, 2}.
Naročilo je pomembno
Tako kot nam različice 4 - 7 in 7 - 4 dajejo različne odgovore, moramo biti pozorni na vrstni red izračunavanja nastavljene razlike. Če uporabimo tehnični izraz iz matematike, bi rekli, da nastavljeno delovanje razlike ni komutativno. To pomeni, da na splošno ne moremo spremeniti vrstnega reda razlike dveh nizov in pričakovati enak rezultat. Točneje lahko trdimo, da za vse sklope
A in B, A - B ni enako B - A.Če želite to videti, se vrnite na zgornji primer. To smo izračunali za sklope A = {1, 2, 3, 4, 5} in B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, razlika A - B = {1, 2 }. Za primerjavo s tem B - A, začnemo z elementi B, ki so 3, 4, 5, 6, 7, 8 in nato odstranite 3, 4 in 5, ker so ti skupni z A. Rezultat je B - A = {6, 7, 8 }. Ta primer nam to jasno kaže A - B ni enako B - A.
Dopolnilo
Ena od razlik je dovolj pomembna, da si lahko zagotovi svoje posebno ime in simbol. Temu pravimo dopolnilo in se uporablja za nastavljeno razliko, ko prvi komplet je univerzalni komplet. Dopolnilo A je podana z izrazom U - A. To se nanaša na nabor vseh elementov v univerzalnem nizu, ki niso elementi A. Ker se razume, da je nabor elementov ki jih lahko izbiramo, so vzeti iz univerzalnega niza, lahko preprosto rečemo, da je dopolnilo A je niz, sestavljen iz elementov, ki niso elementi A.
Dopolnitev niza je v primerjavi z univerzalnim nizom, s katerim delamo. Z A = {1, 2, 3} in U = {1, 2, 3, 4, 5}, dopolnilo A je {4, 5}. Če je naš univerzalni niz drugačen, recimo U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, potem dopolnilo A {-3, -2, -1, 0}. Vedno bodite pozorni na to, kateri univerzalni komplet se uporablja.
Zapis za dopolnilo
Beseda "dopolnilo" se začne s črko C in tako se to uporablja v notaciji. Dopolnilo kompleta A je zapisano kot AC. Tako lahko v simbolih izrazimo definicijo komplementa kot: AC = U - A.
Drug način, ki se običajno uporablja za označevanje komplementa niza, vključuje apostrof in je zapisan kot A'.
Druge identitete, ki vključujejo razlike in dopolnitve
Obstaja veliko nastavljenih identitet, ki vključujejo uporabo razlik in dopolnjevanja. Nekatere identitete kombinirajo druge nastavljene operacije, kot je križišče in zveza. Spodaj je navedenih nekaj pomembnejših. Za vse sklope A, in B in D imamo:
- A - A =∅
- A - ∅ = A
- ∅ - A = ∅
- A - U = ∅
- (AC)C = A
- Zakon DeMorgan I: (A ∩ B)C = AC ∪ BC
- Zakon DeMorgan II: (A ∪ B)C = AC ∩ BC