The mediana nabora podatkov je vmesna točka, kjer je natančno polovica vrednosti podatkov manjša ali enaka mediani. Na podoben način lahko razmišljamo o mediani a neprekinjenoporazdelitev verjetnosti, ampak namesto da najdemo srednjo vrednost v naboru podatkov, najdemo sredino distribucije na drugačen način.
Skupna površina v funkciji gostote verjetnosti je 1, kar predstavlja 100%, in posledično lahko polovico tega predstavljamo polovica ali 50 odstotkov. Ena izmed velikih idej matematične statistike je, da verjetnost predstavlja območje pod krivuljo funkcijo gostote, ki jo izračunamo s integralom in je tako mediana neprekinjene porazdelitve točka na the resnično število črta, kjer natančno polovica območja leži na levi strani.
To je mogoče bolj kratko poudariti z naslednjim nepravilnim integralom. Mediana neprekinjene naključne spremenljivke X s funkcijo gostote f( x) je vrednost M takšna, da:
0.5=∫m−∞f(x)dx
Mediana za eksponentno porazdelitev
Zdaj izračunamo mediano za eksponentno porazdelitev Exp (A). Naključna spremenljivka s to porazdelitvijo ima funkcijo gostote f(x) = e-x/ A/ A za x vsako negativno realno število. Funkcija vsebuje tudi matematična konstanta e, približno enako 2.71828.
Ker je funkcija gostote verjetnosti enaka vsaki negativni vrednosti x, vse, kar moramo storiti, je vključiti naslednje in rešiti za M:
0,5 = ∫0M f (x) dx
Ker je integral ∫ e-x/ A/ A dx = -e-x/ A, rezultat je to
0,5 = -e-M / A + 1
To pomeni, da je 0,5 = e-M / A in po naravnem logaritmu obeh strani enačbe, imamo:
ln (1/2) = -M / A
Ker je 1/2 = 2-1, po lastnostih logaritmov zapišemo:
- ln2 = -M / A
Če množimo obe strani z A, dobimo rezultat, da je mediana M = A ln2.
Srednja srednja neenakost v statistiki
Treba je omeniti eno posledico tega rezultata: sredina eksponentne porazdelitve Exp (A) je A, in ker je ln2 manjši od 1, izhaja, da je produkt Aln2 manjši od A. To pomeni, da je mediana eksponentne porazdelitve manjša od povprečne.
To je smiselno, če pomislimo na graf funkcije gostote verjetnosti. Zaradi dolgega repa je ta porazdelitev nagnjena v desno. Velikokrat, ko je porazdelitev nagnjena na desno, je sredina desno od mediane.
Kar pomeni to v statistični analizi, je, da lahko pogosto napovemo, da srednja in srednja vrednost ne vplivata neposredno korelirati glede na verjetnost, da so podatki nagnjeni v desno, kar se lahko izrazi kot srednji dokaz neenakosti poznan kot Čebiševa neenakost.
Kot primer navedite niz podatkov, ki navaja, da oseba v 10 urah sprejme skupno 30 obiskovalcev, pri čemer je povprečni čas čakanja na obiskovalca 20 minut, medtem ko lahko nabor podatkov kaže, da bi bil povprečni čas čakanja nekje med 20 in 30 minut, če bi več kot polovica obiskovalcev prišla v prvih petih ure.