Rešitve za težave pri štetju

Štetje se lahko zdi enostavno opravilo. Ko gremo globlje na območje matematika poznan kot kombinatorika, se zavedamo, da naletimo na nekaj velikega števila. Od takrat faktografski se prikaže tako pogosto in številka, kot je 10! je večja od treh milijonov, štetje težav se lahko zelo zaplete, če poskušamo našteti vse možnosti.

Včasih, ko razmislimo o vseh možnostih, ki jih lahko izkoristijo naši problemi s štetjem, je lažje razmišljati skozi temeljna načela problema. Ta strategija lahko traja veliko manj časa, kot če poskusite s silovito silo našteti več kombinacije ali permutacije.

Vprašanje "Na koliko načinov je mogoče nekaj storiti?" je povsem drugačno vprašanje od "Kakšni so načini da se lahko nekaj naredi? «To zamisel bomo videli v naslednjem nizu izzivalnega štetja težave.

Naslednji sklop vprašanj vključuje besedo TRIANGLE. Upoštevajte, da je skupno osem črk. Naj se razume, da samoglasniki besede TRIANGLE so AEI, soglasniki besede TRIANGLE pa LGNRT. Pred resničnim izzivom, preden preberete, preverite različico teh težav brez rešitev.

1. Na koliko načinov lahko razporedimo črke besede TRIANGLE?
   Rešitev: Tu je skupno osem možnosti za prvo črko, sedem za drugo, šest za tretjo in tako naprej. Po načelu množenja množimo za skupno 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 različnih načinov.
2. Na koliko načinov lahko razporedimo črke besede TRIANGLE, če morajo biti prve tri črke RAN (v tem natančnem vrstnem redu)?
   Rešitev: Prve tri črke so bile izbrane za nas, tako da nam je ostalo pet črk. Po RAN-u imamo pet možnosti za naslednjo črko, sledijo štiri, nato tri, nato dve in ena. Po načelu množenja obstaja 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 načinov urejanja črk na določen način.
3. Na koliko načinov lahko razporedimo črke besede TRIANGLE, če morajo biti prve tri črke RAN (v poljubnem zaporedju)?
   Rešitev: Na to glejte kot na dve neodvisni nalogi: prvo uredite črke RAN in drugo uredite ostalih pet črk. Obstajajo 3! = 6 načinov, kako urediti RAN in 5! Načini, kako urediti ostalih pet črk. Torej jih je skupno 3! x 5! = 720 načinov urejanja črk TRIANGLE, kot je določeno.
4. Na koliko načinov lahko razporedimo črke besede TRIANGLE, če morajo biti prve tri črke RAN (v poljubnem zaporedju), zadnja črka pa samoglasnik?
   Rešitev: Na to glejte kot na tri naloge: prva uredi črke RAN, druga izbere enega samoglasnika iz I in E in tretja razporedi ostale štiri črke. Obstajajo 3! = 6 načinov razporeditve RAN, 2 načina izbire samoglasnika iz preostalih črk in 4! Načini urejanja ostalih štirih črk. Torej jih je skupno 3! X 2 x 4! = 288 načinov urejanja črk TRIANGLE, kot je določeno.
5. Na koliko načinov lahko razporedimo črke besede TRIANGLE, če morajo biti prve tri črke RAN (v poljubnem zaporedju), naslednje tri črke pa TRI (v poljubnem zaporedju)?
   Rešitev: Spet imamo tri naloge: prvo razporejanje črk RAN, drugo urejanje črk TRI in tretje urejanje ostalih dveh črk. Obstajajo 3! = 6 načinov za ureditev RAN, 3! načine ureditve TRI in dva načina, kako urediti ostale črke. Torej jih je skupno 3! x 3! X 2 = 72 načinov razporeditve črk TRIANGLE, kot je navedeno.
6. Na koliko različnih načinov lahko razporedimo črke besede TRIANGLE, če ne moremo spremeniti vrstnega reda in postavitve samoglasnikov IAE?
   Rešitev: Tri samoglasnike je treba hraniti v istem vrstnem redu. Zdaj je na voljo skupno pet soglasnikov. To je mogoče storiti v 5! = 120 načinov.
7. Na različne načine je mogoče urediti črke besede TRIANGLE, če vrstni red samoglasnikov IAE ne more spremeniti, čeprav je njihova umestitev lahko (IAETRNGL in TRIANGEL sprejemljiva, vendar EIATRNGL in TRIENGLA sta ne)?
   Rešitev: To je najbolje razmišljati v dveh korakih. Prvi korak je izbira krajev, v katera se samoglasniki odpravijo. Tu izbiramo tri mesta od osmih in vrstni red, da to storimo, ni pomemben. To je kombinacija in skupaj jih je C(8,3) = 56 načinov za izvedbo tega koraka. Preostalih pet črk je lahko razporejenih v 5! = 120 načinov. To pomeni skupno 56 x 120 = 6720 aranžmajev.
8. Na koliko različnih načinov lahko razporedimo črke besede TRIANGLE, če se lahko spremeni vrstni red samoglasnikov IAE, čeprav njihova namestitev morda ne bo?
   Rešitev: To je res ista stvar kot št. 4 zgoraj, vendar z različnimi črkami. Tri črke razporedimo po 3! = 6 načinov in ostalih pet črk v 5! = 120 načinov. Skupno število načinov za to ureditev je 6 x 120 = 720.
9. Na koliko različnih načinov lahko razporedimo šest črk besede TRIANGLE?
   Rešitev: Ker govorimo o aranžmaju, je to permutacija in skupaj jih je P( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 načinov.
10. Na koliko različnih načinov lahko razporedimo šest črk besede TRIANGLE, če mora biti enako število samoglasnikov in soglasnikov?
    Rešitev: Obstaja samo en način izbire samoglasnikov, ki jih bomo postavili. Izbira soglasnikov se lahko opravi v C(5, 3) = 10 načinov. Nato jih je 6! načine ureditve šestih črk. Pomnožite te številke skupaj za rezultat 7200.
11. Na koliko različnih načinov lahko razporedimo šest črk besede TRIANGLE, če mora biti vsaj en soglasnik?
    Rešitev: Vsaka ureditev šestih črk izpolnjuje pogoje, zato obstajajo P(8, 6) = 20.160 načinov.
12. Na koliko različnih načinov lahko razporedimo šest črk besede TRIANGLE, če se samoglasniki izmenjujejo s soglasniki?
    Rešitev: Obstajata dve možnosti, prva črka je samoglasnik ali prva črka soglasnik. Če je prva črka samoglasnik, imamo tri izbire, sledi pet za soglasnik, dve za drugi samoglasnik, štiri za drugi soglasnik, ena za zadnji samoglasnik in tri za zadnji soglasnik. To pomnožimo, da dobimo 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. S trditvami simetrije obstaja enako število aranžmajev, ki se začnejo s soglasnikom. To daje skupno 720 dogovorov.
13. Koliko različnih nizov štirih črk lahko tvorimo iz besede TRIANGLE?
    Rešitev: Ker govorimo o a nabor od štirih črk od skupno osmih, vrstni red ni pomemben. Kombinacijo moramo izračunati C(8, 4) = 70.
14. Koliko različnih sklopov štirih črk lahko tvorimo iz besede TRIANGLE, ki ima dva samoglasnika in dva soglasnika?
    Rešitev: Tu oblikujemo svoj sklop v dveh korakih. Obstajajo C(3, 2) = 3 načine izbire dveh samoglasnikov od skupno 3. Obstajajo C(5, 2) = 10 načinov izbire soglasnikov iz petih, ki so na voljo. To daje skupno 3x10 = 30 možnih nizov.
15. Koliko različnih sklopov štirih črk lahko tvorimo iz besede TRIANGLE, če želimo vsaj en samoglasnik?
    Rešitev: To je mogoče izračunati na naslednji način:

• Število nizov štirih z enim samoglasnikom je C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Število nizov štirih z dvema samoglasnikoma je C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Število nizov štirih s tremi samoglasniki je C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

To daje skupno 65 različnih sklopov. Lahko bi izračunali, da obstaja 70 načinov za oblikovanje niza iz štirih črk in odštevanje C(5, 4) = 5 načinov pridobivanja niza brez samoglasnikov.