Kakšna je negativna binomna porazdelitev?

Negativna binomna porazdelitev je a porazdelitev verjetnosti ki se uporablja z diskretnimi naključnimi spremenljivkami. Ta vrsta distribucije se nanaša na število preskušanj, ki jih je treba opraviti, da bi lahko vnaprej določili število uspehov. Kot bomo videli, je negativna binomna porazdelitev povezana z binomna porazdelitev. Poleg tega ta distribucija posplošuje geometrijsko porazdelitev.

Začeli bomo z ogledom nastavitve in pogojev, ki povzročajo negativno binomno porazdelitev. Mnogi od teh stanj so zelo podobni binomski postavitvi.

1. Imamo poskus Bernoullija. To pomeni, da ima vsako preskušanje, ki ga opravimo, dobro opredeljen uspeh in neuspeh in da so to edini izidi.
2. Verjetnost uspeha je konstantna, ne glede na to, kolikokrat izvedemo poskus. To konstantno verjetnost označimo z a str.
3. Poskus se ponovi za X neodvisna preskušanja, kar pomeni, da izid enega preskusa ne vpliva na izid naslednjega preskušanja.

Ti trije pogoji so enaki kot pri binomni porazdelitvi. Razlika je v tem, da ima binomna naključna spremenljivka fiksno število preskusov

Negativna binomna porazdelitev se nanaša na število preskušanj X to se mora zgoditi, dokler ne bomo r uspehih. Število r je celo število, ki ga izberemo, preden začnemo izvajati preizkuse. Naključna spremenljivka X je še vedno diskretna. Vendar lahko zdaj naključna spremenljivka prevzame vrednosti X = r, r + 1, r + 2,... Ta naključna spremenljivka je izjemno neskončna, saj lahko traja poljubno dolgo, preden dobimo r uspehih.

Za lažje razumevanje negativne binomne porazdelitve je smiselno razmisliti o primeru. Recimo, da vrnemo pošten kovanec in postavimo vprašanje: "Kolikšna je verjetnost, da bomo v prvem dobili tri glave X kovanec obrne? "To je situacija, ki zahteva negativno binomno porazdelitev.

Kovanci kovancev imajo dva možna izida, verjetnost uspeha je konstantna 1/2, poskusi pa so neodvisni drug od drugega. Prosimo za verjetnost, da bomo dobili prve tri glave po tem X kovanec obrne. Tako moramo kovanec vsaj trikrat obrniti. Nato držimo naprej, dokler se ne pojavi tretja glava.

Za izračun verjetnosti, povezanih z negativno binomno porazdelitvijo, potrebujemo še nekaj informacij. Moramo poznati funkcijo verjetnostne mase.

Verjetno masno funkcijo za negativno binomno porazdelitev lahko razvijemo z malo razmišljanja. Vsaka preizkušnja ima verjetnost uspeha, ki jo je dal str. Ker obstajata le dva možna izida, to pomeni, da je verjetnost neuspeha konstantna (1 - str ).

The rza uspeh se mora zgoditi uspeh xth in končno sojenje. Prejšnji x - 1 preskus mora vsebovati natančno r - 1 uspehih. Število načinov, do katerih lahko pride, je določeno s številom kombinacij:

C (x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Poleg tega imamo neodvisne dogodke in tako lahko množimo svoje verjetnosti skupaj. Če vse to sestavimo skupaj, dobimo funkcijo mase verjetnosti

f(x) = C (x - 1, r -1) str^r(1 - str)^{x - r}.

Zdaj lahko razumemo, zakaj ima ta naključna spremenljivka negativno binomno porazdelitev. Število kombinacij, na katere smo naleteli zgoraj, lahko z nastavitvijo napišemo drugače x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1.).. (- r - (k + 1) / k !.

Tu vidimo videz negativnega binomnega koeficienta, ki ga uporabimo, kadar binomski izraz (a + b) dvignemo na negativno moč.

Sredino porazdelitve je pomembno vedeti, saj je eden od načinov za označevanje središča distribucije. Srednja vrednost te vrste naključne spremenljivke je podana s pričakovano vrednostjo in je enaka r / str. To lahko natančno dokažemo z uporabo funkcija za ustvarjanje trenutka za to distribucijo.

Tudi intuicija nas usmerja k temu izrazu. Recimo, da izvedemo vrsto preskusov n₁ dokler ne dobimo r uspehih. In potem to naredimo še enkrat, le tokrat traja n₂ preizkušnje. To nadaljujemo znova in znova, dokler ne bomo imeli velikega števila skupin preskušanj N = n₁ + n₂ +... +n_k.

Vsak od teh k poskusi vsebujejo r uspehi in tako jih imamo skupaj kr uspehih. Če N je velik, potem bi pričakovali, da bomo videli še približno Np uspehih. Tako jih enačimo skupaj in imamo kr = Np.

Naredimo nekaj algebre in to najdemo N / k = r / p. Del na levi strani te enačbe je povprečno število preskusov, potrebnih za vsako od naših k skupine poskusov. Z drugimi besedami, to je pričakovano število izvedb poskusa, tako da jih imamo skupaj r uspehih. To je ravno pričakovanje, ki ga želimo najti. Vidimo, da je to enako formuli r / p.

Variance negativne binomne porazdelitve je mogoče izračunati tudi s pomočjo funkcije generiranja trenutka. Ko to storimo, opazimo varianco te porazdelitve po naslednji formuli:

r (1 - str)/str²

Funkcija ustvarjanja trenutka za to vrsto naključne spremenljivke je precej zapletena. Spomnimo se, da je funkcija generiranja trenutka definirana kot pričakovana vrednost E [e^tX]. Z uporabo te definicije s funkcijo mase verjetnosti mase imamo:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] e^tXstr^r(1 - str)^{x - r}

Po neki algebri to postane M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Zgoraj smo videli, kako je negativna binomna porazdelitev v marsičem podobna binomski porazdelitvi. Poleg te povezave je negativna binomna porazdelitev splošnejša različica geometrijske porazdelitve.

Geometrijska naključna spremenljivka X šteje število preskusov, potrebnih pred prvim uspehom. Zlahka je videti, da je to ravno negativna binomna porazdelitev, vendar s r enaka ena.

Obstajajo druge formulacije negativne binomne porazdelitve. Nekateri učbeniki opredeljujejo X da je število preskusov do r pride do okvar.

Ogledali si bomo primer težave, da bomo videli, kako delati z negativno binomno porazdelitvijo. Recimo, da je košarkar 80-odstoten strelec prostega metanja. Poleg tega predpostavite, da je en prosti met neodvisen od naslednjega. Kakšna je verjetnost, da je za tega igralca osmi koš narejen na deseti prosti met?

Vidimo, da imamo nastavitev za negativno binomno porazdelitev. Stalna verjetnost uspeha je 0,8, zato je verjetnost neuspeha 0,2. Določiti želimo verjetnost X = 10, ko je r = 8.

Te vrednosti vključimo v našo funkcijo mase verjetnosti:

f (10) = C (10 -1, 8 - 1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², kar je približno 24%.

Nato bi lahko vprašali, kakšno je povprečno število strelov prostih metov, preden jih ta igralec naredi osem. Ker je pričakovana vrednost 8 / 0,8 = 10, je to število posnetkov.