Če bi koga prosili, da poimenuje njegovo najljubšo matematično konstanto, bi verjetno dobili nekaj kvizističnih pogledov. Čez nekaj časa se lahko kdo javi prostovoljno najboljša stalnica je pi. Vendar to ni edina pomembna matematična konstanta. Konec drugega, če ne kandidat za krono najbolj vseprisotne stalnice e. To število se prikaže v računu, teoriji števil, verjetnosti in statistika. Preučili bomo nekatere značilnosti tega izjemnega števila in videli, kakšne povezave ima s statistiko in verjetnostjo.
Vrednost e
Kot pi, e je iracionalno resnično število. To pomeni, da ga ni mogoče zapisati kot ulomek in da se njegovo decimalno širjenje večno nadaljuje brez ponavljajočega se bloka števil, ki se neprestano ponavlja. Število e je tudi transcendentalna, kar pomeni, da ni koren ne-nič polinoma z racionalnimi koeficienti. Prvih petdeset decimalnih mest je podanih s e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Opredelitev e
Število e odkrili ljudje, ki so bili radovedni zaradi zanimanja. V tej obliki obresti glavnica zasluži obresti in nato ustvarjene obresti zaslužijo obresti na sebi. Ugotovljeno je bilo, da večja kot je pogostost obdobij sestavljanja na leto, večji je znesek obresti. Na primer, lahko pogledamo, da so obresti sestavljene:
- Letno ali enkrat na leto
- Polletno ali dvakrat letno
- Mesečno ali 12-krat na leto
- Dnevno ali 365-krat na leto
Skupni znesek obresti se poveča za vsak od teh primerov.
Pojavilo se je vprašanje, koliko denarja bi bilo mogoče zaslužiti z obrestmi. Da bi poskušali zaslužiti še več denarja, bi lahko teoretično povečali število obdelovalnih obdobij na toliko, kolikor smo želeli. Končni rezultat tega povečanja je, da bi upoštevali, da se obresti nenehno povečujejo.
Medtem ko se ustvarjene obresti povečujejo, to počne zelo počasi. Skupni znesek denarja na računu se dejansko stabilizira in vrednost, ki jo ta stabilizira e. Če želimo to izraziti s pomočjo matematične formule, rečemo, da je meja kot n povečanja (1 + 1 /n)n = e.
Uporabe e
Število e prikaže skozi celotno matematiko. Tu je nekaj krajev, kjer se pojavlja:
- Je osnova naravnega logaritma. Odkar je Napier izumil logaritme, e se včasih imenuje Napierjeva stalnica.
- Pri izračunu eksponentna funkcija ex ima edinstveno lastnost, da je lastni derivat.
- Izrazi, ki vključujejo ex in e-x združijo, da tvorijo hiperbolični sinus in hiperbolični kosinusni funkciji.
- Zahvaljujoč Eulerjevemu delu vemo, da so temeljne konstante matematike medsebojno povezane s formulo eiΠ + 1 = 0, kjer jaz je namišljeno število, ki je kvadratni koren negativnega.
- Število e se prikaže v različnih formulah v matematiki, zlasti na področju teorije števil.
Vrednost e v statistiki
Pomen številke e ni omejeno na le nekaj področij matematike. Obstaja tudi več uporab števila e v statistiki in verjetnosti. Nekaj teh je:
- Število e naredi v formula za gama funkcijo.
- Formule za standardna normalna porazdelitev vključuje e na negativno moč. Ta formula vključuje tudi pi.
- Številne druge distribucije vključujejo uporabo številke e. Formule za porazdelitev t, gama in hi-kvadrat na primer vsebujejo število e.