V statistiki je pravilo dopolnjevanja izrek, ki zagotavlja povezavo med verjetnostjo an dogodek in verjetnost dopolnitve dogodka tako, da če poznamo eno od teh verjetnosti, potem avtomatično poznamo tudi drugo.
Pravilo dopolnjevanja nam pride prav, ko izračunamo določene verjetnosti. Velikokrat je verjetnost dogodka neredna ali zapletena za izračun, medtem ko je verjetnost dogodka veliko bolj preprosta.
Preden vidimo, kako se uporablja pravilo dopolnjevanja, bomo natančno opredelili, kaj je to pravilo. Začnemo z malo notacije. Dopolnitev dogodka A, sestavljen iz vseh elementov v vzorčni prostorS ki niso elementi niza A, je označeno s AC.
Izjava o dopolnilnem pravilu
Pravilo dopolnjevanja je navedeno kot "vsota verjetnosti dogodka in verjetnost njegovega dopolnjevanja je enaka 1", izražena z naslednjo enačbo:
P (AC) = 1 - P (A)
Naslednji primer bo pokazal, kako uporabljati pravilo dopolnjevanja. Postalo bo očitno, da bo ta izrek pospešil in poenostavil izračune verjetnosti.
Verjetnost brez pravila o dopolnjevanju
Recimo, da vrnemo osem poštenih kovancev - kolikšna je verjetnost, da imamo vsaj eno glavo? Eden od načinov za to je izračunati naslednje verjetnosti. Imenovalec vsakega je razložen z dejstvom, da obstajata 28 = 256 izidov, od katerih je vsak enako verjeten. V nadaljevanju nam sledi formula za kombinacije:
- Verjetnost, da bo obrnil točno eno glavo, je C (8,1) / 256 = 8/256.
- Verjetnost, da bosta natančno odvrteli dve glavi, je C (8,2) / 256 = 28/256.
- Verjetnost, da bo natanko tri glave zasukal, je C (8,3) / 256 = 56/256.
- Verjetnost, da bo obrnil točno štiri glave, je C (8,4) / 256 = 70/256.
- Verjetnost, da bo natanko pet glavic obrnil, je C (8,5) / 256 = 56/256.
- Verjetnost, da bo natanko šest glavic zasukal, je C (8,6) / 256 = 28/256.
- Verjetnost, da bo preusmeril natanko sedem glav, je C (8,7) / 256 = 8/256.
- Verjetnost, da bo natanko osem glavic obrnil, je C (8,8) / 256 = 1/256.
To so medsebojno izključujeta dogodkov, zato seštejemo verjetnosti skupaj z uporabo enega ustreznega pravilo dodajanja. To pomeni, da je verjetnost, da imamo vsaj eno glavo, 255 od 256.
Uporaba pravila dopolnjevanja za poenostavitev verjetnostnih težav
Zdaj izračunamo isto verjetnost z uporabo pravila dopolnjevanja. Dopolnitev dogodka "Zavrtimo vsaj eno glavo" je dogodek "Ni glave." Obstaja en način za to, kar nam daje verjetnost 1/256. Uporabljamo pravilo dopolnjevanja in ugotovimo, da je naša želena verjetnost ena od minus ena od 256, kar je 255 od 256.
Ta primer prikazuje ne le koristnost, ampak tudi moč pravila dopolnjevanja. Čeprav z našim prvotnim izračunom ni nič narobe, je bil precej vključen in je zahteval več korakov. V nasprotju s tem pa, ko smo za to težavo uporabili pravilo dopolnjevanja, ni bilo toliko korakov, ko bi lahko računi šli narobe.