Verjetnost prevračanja Yahtzeeja

Yahtzee je igra s kockami, ki vključuje kombinacijo priložnosti in strategije. Igralec začne svoj obrat z zvijanjem petih kock. Po tem kolu se lahko igralec odloči, da bo kocka vrgel poljubno število kock. Kvečjemu so na voljo trije zvitki za vsak zavoj. Po teh treh zvitkih se rezultat kocke vpiše na seznam rezultatov. Ta seznam vsebuje različne kategorije, na primer a polna hiša ali velik naravnost. Vsaka od kategorij je zadovoljna z različnimi kombinacijami kock.

Najtežja kategorija za izpolnjevanje je kategorija Yahtzee. Yahtzee se zgodi, ko igralec vrti pet iste številke. Kako zelo verjetno je Yahtzee? To je težava, ki je veliko bolj zapletena kot iskanje verjetnosti dva ali celo tri kocke. Glavni razlog je, da obstaja veliko načinov, kako med tremi zvitki pridobiti pet ujemajočih se kock.

Verjetnost premikanja Yahtzeeja lahko izračunamo s formulo kombinatorike za kombinacije in razčlenimo težavo na več medsebojno izključujeta primerov.

Najlažji primer, ki ga je treba razmisliti, je pridobitev Yahtzeeja takoj na prvem seznamu. Najprej si bomo ogledali

Verjetnost prevračanja dvojice je 1/6, izid vsake diete pa je neodvisen od ostalih. Tako je verjetnost, da se pet dvojic vrti (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Verjetnost, da se iz vsake druge številke zvrti pet, je tudi 1/7776. Ker je na matriku skupno šest različnih številk, zgornjo verjetnost pomnožimo s 6.

To pomeni, da je verjetnost Yahtzeeja pri prvem zvitku 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 odstotka.

Če bomo vrteli kaj drugega kot pet vrst prvega zvitka, bomo morali nekaj kock vrniti, da bomo poskusili dobiti Yahtzee. Recimo, da ima naš prvi zvitek štiri vrste. preusmerili bomo eno matrico, ki se ne ujema, in nato dobili Yahtzee v tem drugem zvitku.

Verjetnost, da se na ta način potegne skupaj pet dvojic:

1. Na prvem zvitku imamo štiri dvojke. Ker obstaja verjetnost 1/6 valjanja dvojic in 5/6 ne valjanja dveh, pomnožimo (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Katerikoli od petih kocke zvite bi lahko bili drugi. Uporabljamo našo kombinirano formulo za C (5, 1) = 5, da računamo, na koliko načinov lahko zavrtimo štiri dvojke in nekaj, kar ni dvoje.
3. Pomnožimo in vidimo, da je verjetnost, da se na prvi zvitek vrti točno štiri dvojice, 25/7776.
4. Pri drugem zvitku moramo izračunati verjetnost kotaljenja enega dva. To je 1/6. Torej je verjetnost, da se Jahtzee dvojica vrti na zgornji način (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Če želite na ta način najti verjetnost, da se kateri koli Yahtzee kotali, ugotovimo tako, da zgornjo verjetnost pomnožimo s 6, ker je šest matric na matri. To daje verjetnost 6 x 25/46656 = 0,32 odstotka.

Vendar to ni edini način, da se Yahtzee zvrti z dvema zvitkoma. Vse naslednje verjetnosti najdemo na približno enak način kot zgoraj:

• Lahko smo vrteli tri vrste in nato dve kocki, ki se ujemata z drugim. Verjetnost tega je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 odstotka.
• Lahko uvrstimo ujemajoči par, na drugem zvitku pa tri kocke, ki se ujemajo. Verjetnost tega je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 odstotka.
• Lahko smo zvrnili pet različnih kock, razen enega matrice iz prvega zvitka, nato pa vrgli štiri kocke, ki ustrezajo drugemu. Verjetnost tega je (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 odstotka.

Zgornji primeri se medsebojno izključujejo. To pomeni, da za izračun verjetnosti valjanja Yahtzeeja v dveh zvitkih seštejemo zgornje verjetnosti skupaj in imamo približno 1,23 odstotka.

Za najbolj zapleteno situacijo do zdaj bomo preučili primer, ko uporabljamo vse tri naše zvitke za pridobitev Yahtzeeja. To bi lahko storili na več načinov in jih moramo upoštevati.

Verjetnosti teh možnosti so izračunane spodaj:

• Verjetnost valjanja štirih vrst, potem nič, nato ujemanje zadnje matrice na zadnjem zvitku je 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 odstotkov.
• Verjetnost prevrtanja treh vrst, potem nič, nato pa ujemanje s pravilnim parom v zadnjem zvitku je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 odstotka.
• Verjetnost, da se ujemajoči par, nato nič, nato pa se v tretjem vrstnem redu ujema s pravilnimi tremi vrstami je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 odstotka.
• Verjetnost valjanja enega samega matrica, potem nič, kar se ujema s tem, nato pa ujemanje s pravilnimi štirimi vrstami na tretjem zvitku je (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 odstotka.
• Verjetnost valjanja treh vrst, ki bodo na naslednjem zvitku ustrezale dodatnemu matriku, ki mu sledi ujemanje petega matrice na tretjem zvitku je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 odstotkov.
• Verjetnost prevračanja para, ujemanja dodatnega para na naslednjem zvitku, čemur sledi ujemanje peta matrica na tretjem zvitku je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 odstotkov.
• Verjetnost, da se par zvrne, se ob naslednjem zvitku ujema dodatna matrica, čemur sledi ujemanje zadnji dve kocki v tretjem zvitku sta 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 odstotka.
• Verjetnost, da se eden od njih zvrti, drugi umre, da se ujema z drugim rolom, nato pa tri vrste na tretjem zvitku znašajo (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 odstotka.
• Verjetnost, da se ena vrsta, tri vrste ujemajo v drugem zvitku, ki ji sledi tekmo na tretjem zvitku, je (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 odstotka.
• Verjetnost, da se kotali ena vrsta, par, da se ujema z drugim rolom, in nato drugi par, ki se ujema s tretjim zvitkom, je (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 odstotka.

Vse zgornje verjetnosti seštejemo, da določimo verjetnost, da se Yahtzee zvrne v tri zvitke kocke. Ta verjetnost znaša 3,43 odstotka.

Verjetnost Yahtzeeja v enem zvitku je 0,08 odstotka, verjetnost Yahtzeeja v dveh zvitkih je 1,23 odstotka, verjetnost Yahtzeeja v treh zvitkih pa 3,43 odstotka. Ker se vsako od teh medsebojno izključuje, verjetnosti seštejemo. To pomeni, da je verjetnost pridobitve Yahtzeeja v določenem obratu približno 4,74 odstotka. Če to upoštevamo, saj je 1/21 približno 4,74 odstotka, samo slučajno bi moral igralec pričakovati Yahtzeeja vsakih 21 obratov. V praksi lahko traja dlje, ker se lahko začetni par zavrže zaradi nečesa drugega, na primer naravnost.