Yahtzee je igra s kockami, ki uporablja pet standardnih šeststranskih kock. Na vsakem koraku igralci dobijo tri zvitke, da dosežejo več različnih ciljev. Po vsakem prevajanju se lahko igralec odloči, katero od kock (če obstaja) bo obdržati in katere je treba izvesti. Cilji vključujejo najrazličnejše kombinacije, med katerimi so številne vzete s pokra. Vsaka različna kombinacija je vredna različne točke.
Poziva se dve vrsti kombinacij, ki jih morajo igralci zviti naravnost: majhna ravna in velika ravna. Kot kombinacije v pokru so tudi te kombinacije sestavljene iz zaporednih kock. Majhne ravne uporabljajo štiri od petih kock, velike pa uporabljajo vseh pet kock. Zaradi naključnosti valjanja kock je verjetnost mogoče uporabiti za analizo, kako verjetno je, da se v enem zvitku valja velika velika.
Predpostavke
Predvidevamo, da so uporabljene kocke pravične in neodvisne druga od druge. Tako je enoten prostor za vzorce sestavljen iz vseh možnih zvitkov petih kock. Čeprav Yahtzee omogoča tri zvitke, bomo zaradi poenostavitve upoštevali le primer, da dobimo veliko ravno v enem samem zvitku.
Vzorec prostora
Ker sodelujemo z a enotnavzorčni prostor, izračun naše verjetnosti postane izračun nekaj težav s štetjem. Verjetnost ravne je število načinov zavrtitve ravnine, deljeno s številom izidov v vzorčnem prostoru.
Zelo enostavno je prešteti število rezultatov v vzorčnem prostoru. Navržemo pet kock in vsaka od teh kock ima lahko enega od šestih različnih rezultatov. Osnovna uporaba načela množenja nam pove, da ima vzorec prostora 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776 izidov. Ta številka bo imenovalec vseh ulomkov, ki jih uporabljamo za naše verjetnosti.
Število ravnih
Nato moramo vedeti, koliko načinov je, da se zvijemo velike naravnost. To je težje kot izračunati velikost vzorčnega prostora. Razlog, zakaj je to težje, je zato, ker je v tem, kako štejemo, več tankosti.
Veliko ravnino je težje valjati kot majhno ravno, vendar je lažje šteti število načinov valjanja velike ravnine kot število načinov valjanja majhne ravnine. Ta vrsta ravnine je sestavljena iz petih zaporednih števil. Ker je na kockah le šest različnih številk, sta le dve možni veliki ravnini: {1, 2, 3, 4, 5} in {2, 3, 4, 5, 6}.
Zdaj določimo različno število načinov za valjanje določenega niza kock, ki nam da naravnost. Za velike ravne s kockami {1, 2, 3, 4, 5} lahko imamo kocke v poljubnem vrstnem redu. Sledijo različni načini valjanja istega naravnost:
- 1, 2, 3, 4, 5
- 5, 4, 3, 2, 1
- 1, 3, 5, 2, 4
Dolgočasno bi bilo našteti vse možne načine za pridobitev 1, 2, 3, 4 in 5. Ker moramo le vedeti, koliko načinov za to lahko storimo, lahko uporabimo nekaj osnovnih tehnik štetja. Opažamo, da vse, kar počnemo, je permuting pet kock. Obstaja 5! = 120 načinov za to. Ker obstajata dve kombinaciji kock za izdelavo velikega naravnost in 120 načinov za zvijanje vsakega od teh, obstajata 2 x 120 = 240 načinov za valjanje velike ravne.
Verjetnost
Zdaj je verjetnost, da se valja velika velika, preprost izračun delitve. Ker obstaja 240 načinov, da se v enem samem zvitku zvrne velik ravno in je 7776 zvitkov po pet kocke mogoče, verjetnost, da se valja velika velika, je 240/7776, kar je blizu 1/32 in 3.1%.
Seveda je bolj verjetno, kot da prvi zvitek ni ravno. Če je temu tako, potem nam dovolijo še dva zvitka, ki naredijo ravno veliko večjo verjetnost. Verjetnost tega je veliko bolj zapleteno določiti zaradi vseh možnih situacij, ki bi jih bilo treba upoštevati.