Eden od priljubljenih načinov za preučevanje verjetnosti je kotanje kock. Običajna matrica ima šest strani, natisnjene z majhnimi pikami s številkami 1, 2, 3, 4, 5 in 6. Če je die pravičen (in bomo tudi mi domnevati da so vsi), potem je vsak od teh izidov enako verjeten. Ker obstaja šest možnih rezultatov, je verjetnost, da dobimo katero koli stran matrice, 1/6. Verjetnost kotaljenja a 1 je 1/6, verjetnost kotaljenja a 1 je 1/6 in tako naprej. Toda kaj se zgodi, če dodamo še eno matrico? Kakšne so verjetnosti za valjanje dveh kock?
Verjetnost kockanja kock
Za pravilno določitev verjetnosti kolutov kock moramo vedeti dve stvari:
- Velikost vzorčni prostor ali skupek možnih rezultatov
- Kako pogosto se zgodi dogodek
V verjetnost, dogodek je določena podskupina vzorčnega prostora. Na primer, če je valjana samo ena matrica, kot je v zgornjem primeru, je prostor vzorca enak vsem vrednostim na matriki ali množici (1, 2, 3, 4, 5, 6). Ker je matrica pravična, se vsako število v množici pojavi samo enkrat. Z drugimi besedami, frekvenca vsakega števila je 1. Za določitev verjetnosti kotaljenja katerega koli od števil na matrični koščki delimo frekvenco dogodkov (1) na velikost vzorčnega prostora (6), kar ima za posledico 1/6.
Kotanje dveh poštenih kock več kot podvoji težavo izračuna verjetnosti. To je zato, ker je valjanje ene matrice neodvisno od valjanja drugega. En zvitek nima vpliva na drugega. Pri obravnavi neodvisnih dogodkov uporabljamo pravilo množenja. Uporaba drevesnega diagrama kaže na to, da obstaja 6 x 6 = 36 možnih rezultatov, ki jih prinesemo dve kocki.
Predpostavimo, da prva matrica, ki jo zavrtimo, nastane kot 1. Drugi matrični valj je lahko 1, 2, 3, 4, 5 ali 6. Zdaj pa predpostavimo, da je prvi umrlec 2. Drugi zvitek je lahko 1, 2, 3, 4, 5 ali 6. Našli smo že 12 potencialnih izidov in še niso izčrpali vseh možnosti prve smrti.
Tabela verjetnosti valjanja dveh kock
Možni izidi kockanja dveh kock so predstavljeni v spodnji tabeli. Upoštevajte, da je število skupnih možnih izidov enako vzorčnemu prostoru prve matrice (6) pomnoženo po vzorčnem prostoru drugega matrice (6), ki je 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Tri ali več kock
Isti princip velja, če delamo težave s tremi kockami. Pomnožimo in vidimo, da obstaja 6 x 6 x 6 = 216 možnih izidov. Ker postane pisno ponavljajoče množenje nerodno, lahko uporabimo eksponente za poenostavitev dela. Za dve kocki jih je 62 možni rezultati. Za tri kocke jih je 63 možni rezultati. Na splošno, če se valjamo n kocke, potem jih je skupaj 6n možni rezultati.
Vzorčne težave
S tem znanjem lahko rešimo vse vrste verjetnostnih težav:
1. Dva šeststranska kocka sta valjana. Kolikšna je verjetnost, da je vsota dveh kock sedem?
To težavo najlažje rešite tako, da se posvetujete z zgornjo tabelo. Opazili boste, da je v vsaki vrstici en zvitek s kockami, kjer je vsota obeh kock enaka sedem. Ker je šest vrstic, obstaja šest možnih izidov, pri katerih je vsota obeh kock enaka sedem. Število skupnih možnih izidov ostaja 36. Spet najdemo verjetnost tako, da delimo frekvenco dogodka (6) na velikost vzorčnega prostora (36), kar ima za posledico verjetnost 1/6.
2. Dva šeststranska kocka sta valjana. Kolikšna je verjetnost, da Vsota od dveh kock je tri?
V prejšnji težavi ste morda opazili, da celice, kjer je vsota dveh kock enaka sedem, tvorijo diagonalo. Tu velja enako, razen v tem primeru sta samo dve celici, kjer je vsota kock tri. To je zato, ker obstajata le dva načina za dosego tega rezultata. Morate zviti 1 in 2 ali pa 2 in 1. Kombinacije za pobiranje vsote sedem so veliko večje (1 in 6, 2 in 5, 3 in 4 in tako naprej). Če želimo najti verjetnost, da je vsota dveh kock tri, lahko frekvenco dogodkov (2) razdelimo na velikost vzorčnega prostora (36), kar ima za posledico 1/18.
3. Dva šeststranska kocka sta valjana. Kolikšna je verjetnost, da bo številke na kocki se razlikujejo?
Ponovno lahko to težavo rešimo s pomočjo zgornje preglednice. Opazili boste, da celice, kjer so številke na kockah, enake diagonali. Samo šest jih je, in ko jih prečrtamo, imamo preostale celice, v katerih so številke na kockah različne. Vzamemo lahko število kombinacij (30) in ga razdelimo na velikost vzorčnega prostora (36), kar ima za posledico verjetnost 5/6.