Značilnosti resnične številke

Kaj je številka? No to je odvisno. Obstaja veliko različnih vrst številk, vsaka s svojimi lastnimi lastnostmi. Ena vrsta številke, na kateri statistika, verjetnost in večina matematike temelji, se imenuje resnično število.

Da se bomo naučili, kaj je resnično število, se bomo najprej podali na kratek ogled drugih vrst številk.

Najprej spoznamo številke, da bi lahko šteli. Začeli smo z ujemanjem številk 1, 2 in 3 s prsti. Potem smo se nadaljevali čim višje, kar verjetno ni bilo tako visoko. Ta štetja ali naravna števila so bila edina števila, o katerih smo vedeli.

Kasneje, ko se ukvarjamo z odštevanjem oz. negativno uvedene so bile cele številke. Nabor pozitivnih in negativnih celih številk imenujemo množica celih števil. Kmalu za tem so bila upoštevana racionalna števila, imenovana tudi ulomki. Ker lahko vsako celo število zapišemo kot ulomek z 1 v imenovalcu, pravimo, da cela števila tvorijo podmnožico racionalnih števil.

The stari Grki spoznal, da ni mogoče vseh števil oblikovati kot ulomek. Na primer, kvadratnega korena 2 ni mogoče izraziti kot ulomek. Te vrste številk imenujemo iracionalna števila. Iracionalnih števil je veliko in nekoliko presenetljivo je v nekem smislu več iracionalnih števil kot racionalnih števil. Ostale neracionalne številke vključujejo

Vsako pravo število lahko zapišemo kot decimalno. Različne vrste resničnih števil imajo različne vrste decimalnih razširitev. Decimalna ekspanzija racionalnega števila se končuje, kot je 2, 3.25 ali 1.2342, ali se ponavlja, na primer .33333.. . Ali .123123123.. . V nasprotju s tem je decimalna ekspanzija iracionalnega števila neprekinjena in se ne ponavlja. To lahko vidimo v decimalni ekspanziji pi. Za pi je nikoli končan niz števk in še več, ni niza številk, ki bi se v nedogled ponavljal.

Prava števila je mogoče prikazati tako, da vsako od njih povežemo z eno od neskončnih števil točk vzdolž premice. Realna števila imajo vrstni red, kar pomeni, da lahko za katera koli dva različna realna števila rečemo, da je eno večje od drugega. Po dogovoru premikanje v levo po realni številski vrstici ustreza manjšim in manjšim številom. Premik v desno po črti realne številke ustreza večjim in večjim številom.

Prava števila se obnašajo kot druge številke, s katerimi smo vajeni. Lahko jih seštejemo, odštejemo, množimo in delimo (dokler ne delimo na nič). Vrstni red seštevanja in množenja ni pomemben, saj obstaja komutativna lastnost. Porazdelitvena lastnost nam pove, kako se množenje in seštevanje medsebojno vplivata.

Kot smo že omenili, imajo resnične številke vrstni red. Glede na kateri koli dve realni številki x in y, vemo, da je res eno in naslednje:

x = y, x < y ali x > y.

Lastnost, ki dejanske številke loči od drugih nizov števil, kot so racionalne, je lastnost, znana kot popolnost. Popolnost je sicer nekoliko tehnična za razlago, intuitiven pojem pa je, da ima množica racionalnih števil vrzeli. Nabor resničnih številk nima vrzeli, ker je popoln.

Kot ponazoritev si bomo ogledali zaporedje racionalnih števil 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,... Vsak izraz tega zaporedja je približek pi, dobljen s prirezom decimalne ekspanzije za pi. Pogoji tega zaporedja se bližajo pi in se bližajo. Vendar, kot smo omenili, pi ni racionalno število. Uporabiti moramo iracionalne številke, da vtaknemo luknje številčne vrstice, ki nastanejo le ob upoštevanju racionalnih števil.

Ne bi smelo biti presenetljivo, da obstaja neskončno število resničnih števil. To lahko vidimo dokaj enostavno, če upoštevamo, da cele številke tvorijo podmnožico resničnih števil. To bi lahko videli tudi z zavedanjem, da ima številčna vrstica neskončno število točk.

Presenetljivo je, da je neskončnost, ki se uporablja za štetje resničnih števil, drugačne vrste kot neskončnost, ki se uporablja za štetje celih števil. Cela števila, cela števila in racionalne vrednosti so neizmerno neskončna. Nabor resničnih števil je neizmerno neskončen.

Prava števila dobijo svoje ime, da jih ločijo od še večjega posploševanja pojma števila. Namišljena številka jaz je definiran kot kvadratni koren negativnega. Vsako resnično število, pomnoženo s jaz je znana tudi kot namišljena številka. Namišljena števila vsekakor raztegnejo našo predstavo o številu, saj sploh niso tisto, o čemer smo razmišljali, ko smo se prvič naučili šteti.