Naravno vprašanje, ki si ga je treba zastaviti glede porazdelitve verjetnosti, je: "Kaj je njegovo središče?" Pričakovana vrednost je ena takšnih meritev središča verjetnostne porazdelitve. Ker meri povprečje, ne sme presenetiti, da ta formula izhaja iz srednje vrednosti.
Če želimo vzpostaviti izhodišče, moramo odgovoriti na vprašanje "Kakšna je pričakovana vrednost?" Recimo, da imamo naključno spremenljivko, povezano z verjetnostnim poskusom. Recimo, da ta poskus ponavljamo vedno znova. Na dolgi rok več ponovitev istega verjetnostnega eksperimenta, če povprečno določimo vse naše vrednosti naključna spremenljivka, bi dobili pričakovano vrednost.
V nadaljevanju bomo videli, kako uporabiti formulo za pričakovano vrednost. Ogledali si bomo tako diskretne kot neprekinjene nastavitve in videli podobnosti in razlike v formulah.
Formula za diskretno naključno spremenljivko
Začnemo z analizo diskretnega primera. Glede na diskretno naključno spremenljivko X, predpostavimo, da ima vrednosti x1, x2
, x3,... xnin ustrezne verjetnosti za str1, str2, str3,... strn. To pravi, da funkcija verjetnostne mase za to naključno spremenljivko daje f(xjaz) = strjaz.Pričakovana vrednost X je podana s formulo:
E (X) = x1str1 + x2str2 + x3str3 +... + xnstrn.
Uporaba funkcije verjetnostne mase in zapis seštevanja nam omogoča bolj kompaktno zapisati to formulo, kot sledi, kjer seštevek prevzame indeks jaz:
E (X) = Σ xjazf(xjaz).
To različico formule je koristno videti, saj deluje tudi, ko imamo neskončen prostor za vzorce. Tudi to formulo je mogoče enostavno prilagoditi za neprekinjeni primer.
Primer
Trikrat obrnite kovanec in pustite X biti število glav. Naključna spremenljivka X je diskretna in končna. Edine možne vrednosti, ki jih lahko imamo, so 0, 1, 2 in 3. To ima verjetnostno porazdelitev 1/8 za X = 0, 3/8 za X = 1, 3/8 za X = 2, 1/8 za X = 3. Uporabite formulo pričakovane vrednosti za pridobitev:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
V tem primeru vidimo, da bomo na dolgi rok povprečno porabili 1,5 glave iz tega eksperimenta. To je smiselno z našo intuicijo, saj je polovica 3 1,5.
Formula za kontinuirano naključno spremenljivko
Zdaj se obrnemo na neprekinjeno naključno spremenljivko, ki jo bomo označili s X. Pustili bomo funkcijo gostote verjetnosti za X dano s funkcijo f(x).
Pričakovana vrednost X je podana s formulo:
E (X) = ∫ x ž(x) dx
Tu vidimo, da je pričakovana vrednost naše naključne spremenljivke izražena kot integral.
Uporaba pričakovane vrednosti
Veliko jih je vloge za pričakovano vrednost naključne spremenljivke. Ta formula naredi zanimiv videz v Sankt Peterburg Paradoks.