Verjetnost polne hiše v Yahtzeeju?

Igra Yahtzee vključuje uporabo petih standardnih kock. Na vsakem koraku igralci dobijo tri zvitke. Po vsakem zvitku je mogoče ohraniti poljubno število kock s ciljem, da dobimo posebne kombinacije teh kock. Vsaka različna kombinacija je vredna različne točke.

Ena od teh vrst kombinacij se imenuje full house. Tako kot polna hiša v igri pokra tudi ta kombinacija vključuje tri od določene številke skupaj s parom različnega števila. Ker Yahtzee vključuje naključno valjanje kock, lahko to igro analiziramo z verjetnostjo, da ugotovimo, kako verjetno je, da se polna hiša vrti v enem samem zvitku.

Začeli bomo z navedbo svojih predpostavk. Predvidevamo, da so uporabljene kocke pravične in neodvisne druga od druge. To pomeni, da imamo enoten prostor za vzorce, sestavljen iz vseh možnih zvitkov petih kock. Čeprav igra Yahtzee omogoča tri zvitke, bomo upoštevali le primer, da dobimo polno hišo v enem samem zvitku.

Ker sodelujemo z a enotnavzorčni prostor, izračun naše verjetnosti postane izračun nekaj težav s štetjem. Verjetnost nastanitve polne hiše je število načinov za zvijanje polne hiše, deljeno s številom rezultatov v vzorčnem prostoru.

Število rezultatov v vzorčnem prostoru je preprosto. Ker je pet kock in ima lahko vsak od teh šest od šestih različnih rezultatov, je število rezultatov v vzorčnem prostoru 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Nato izračunamo število načinov za polno hišo. To je težja težava. Da bi imeli polno hišo, potrebujemo tri vrste ene kocke, ki ji sledi par različnih vrst kock. To težavo bomo razdelili na dva dela:

• Kolikšno je število različnih vrst polnih hiš, ki bi jih bilo mogoče valjati?
• Kakšno je število načinov, kako se lahko določena vrsta polne hiše zavrti?

Ko poznamo številko vsakega od teh, jih lahko pomnožimo skupaj, tako da dobimo skupno število polnih hiš, ki jih je mogoče zviti.

Začnemo z ogledom števila različnih vrst polnih hiš, ki jih je mogoče valjati. Za tri vrste bi lahko uporabili katero koli od številk 1, 2, 3, 4, 5 ali 6. Za par je ostalo pet številk. Tako je na voljo 6 x 5 = 30 različnih vrst polnih kombinacij.

Na primer, lahko bi imeli 5, 5, 5, 2, 2 kot eno vrsto polnih hiš. Druga vrsta polne hiše bi bila 4, 4, 4, 1, 1. Še ena bi bila 1, 1, 4, 4, 4, kar je drugače kot prejšnja polna hiša, ker so se zamenjale vloge četverice in ena.

Zdaj določimo različno število načinov zavijanja določene polne hiše. Na primer, vsak od naslednjih nam daje enako polno hišo treh štirinožcev in dveh:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vidimo, da obstaja vsaj pet načinov, kako lahko določite polno hišo. Ali obstajajo drugi? Tudi če še naprej navajamo druge možnosti, kako vemo, da smo jih vse našli?

Ključno za odgovor na ta vprašanja je, da se zavedamo, da imamo opravka s štetjem in določimo, s kakšnim problemom štetja sodelujemo. Obstaja pet položajev in tri od teh morajo biti napolnjene s štirimi. Vrstni red, v katerem postavimo četverice, ni pomemben, dokler so zapolnjeni natančni položaji. Ko je položaj četverice določen, je namestitev le-teh avtomatska. Zaradi tega moramo upoštevati kombinacija od petih položajev na treh.

Za pridobivanje uporabimo kombinirano formulo C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. To pomeni, da obstaja 10 različnih načinov, kako lahko damo polno hišo.

Če vse to sestavimo skupaj, imamo naše polne hiše. Obstaja 10 x 30 = 300 načinov za pridobitev polne hiše v enem zvitku.

Zdaj pa verjetnost polne hiše je preprost izračun delitve. Ker je 300 načinov za polno hišo v enem samem zvitku in je možnih 7776 zvitkov s petimi kockami, je verjetnost, da se polna hiša zvrne, 300/7776, kar je blizu 1/26 in 3,85%. To je 50-krat večja verjetnost kot valjanje Yahtzeeja v enem samem zvitku.

Seveda je zelo verjetno, da prvi roll ni polna hiša. Če je temu tako, potem nam dovolijo še dva zvitka, ki naredijo polno hišo veliko bolj verjetno. Verjetnost tega je veliko bolj zapleteno določiti zaradi vseh možnih situacij, ki bi jih bilo treba upoštevati.