The vzorčni standardni odklon je opisna statistika, ki meri širjenje kvantitativnega nabora podatkov. Ta številka je lahko katero koli negativno stvarno število. Ker nič ni negativno resnično številose zdi smiselno vprašati: "Kdaj bo standardni odklon vzorca enak nič?" To se zgodi v zelo posebnem in zelo nenavadnem primeru, ko so vse naše vrednosti podatkov popolnoma enake. Preučili bomo razloge, zakaj.
Opis standardnega odstopanja
Dva pomembna vprašanja, na katera običajno želimo odgovoriti glede nabora podatkov, vključujejo:
- Kakšno je središče nabora podatkov?
- Kako razširjen je nabor podatkov?
Obstajajo različne meritve, imenovane opisna statistika, ki odgovarjajo na ta vprašanja. Na primer, središče podatkov, znano tudi kot povprečna, je mogoče opisati glede na srednjo vrednost, srednjo vrednost ali način. Lahko se uporabijo tudi druge manj znane statistike, kot je midhinge ali trimesečno.
Za širjenje naših podatkov bi lahko uporabili obseg, interkvartilni razpon ali standardni odklon. Standardni odklon je seznanjen s srednjo vrednostjo za količinsko določitev širjenja naših podatkov. Nato lahko to številko uporabimo za primerjavo več podatkovnih nizov. Večji kot je naš standardni odklon, potem je večji razmik.
Intuicija
Poglejmo iz tega opisa, kaj bi pomenilo imeti standardni odklon nič. To bi pomenilo, da v našem naboru podatkov sploh ni širjenja. Vse posamezne vrednosti podatkov bi bile združene z eno samo vrednostjo. Ker bi lahko imeli le eno vrednost, bi ta vrednost pomenila povprečje našega vzorca.
V tem primeru, ko so vse naše vrednosti podatkov enake, ne bi bilo nobene spremembe. Intuitivno je smiselno, da bi bil standardni odmik takega nabora podatkov enak nič.
Matematični dokaz
Standardni odklon vzorca je določen s formulo. Vsako trditev, kot je zgornja, je treba dokazati s to formulo. Začnemo z nizom podatkov, ki ustreza zgornjemu opisu: vse vrednosti so enake in obstajajo n vrednosti enake x.
Izračunamo sredino tega nabora podatkov in vidimo, da je
x = (x + x +... + x)/n = nx/n = x.
Zdaj, ko izračunamo posamezna odstopanja od srednje, vidimo, da so vsa ta odstopanja enaka nič. Posledično sta varianta in tudi standardni odklon enaka nič.
Potrebno in zadostno
Vidimo, da če v naboru podatkov ni sprememb, potem je njegov standardni odklon enak nič. Lahko vprašamo, če obratno te trditve tudi drži. Če želimo videti, ali je, bomo ponovno uporabili formulo za standardni odmik. Tokrat pa bomo standardni odmik postavili na nič. O našem naboru podatkov ne bomo dali nobenih predpostavk, ampak videli bomo, v kakšni nastavitvi s = 0 pomeni
Predpostavimo, da je standardni odklon nabora podatkov enak nič. To pomeni, da je odstopanje vzorca s2 je enako nič. Rezultat je enačba:
0 = (1/(n - 1)) ∑ (xjaz - x )2
Obe strani enačbe pomnožimo z n - 1 in poglejte, da je vsota odklonov v kvadratu enaka nič. Ker delamo z realnimi števili, je edini način, da se to odkrije v kvadrat, enako nič. To pomeni, da za vsakega jaz, izraz (xjaz - x )2 = 0.
Zdaj vzamemo kvadratni koren zgornje enačbe in vidimo, da mora biti vsak odklon od srednje enak nič. Ker za vse jaz,
xjaz - x = 0
To pomeni, da je vsaka vrednost podatkov enaka srednji. Ta rezultat skupaj s predhodnim nam omogoča, da lahko rečemo, da je vzorčni standardni odklon nabora podatkov enak nič in samo, če so vse njegove vrednosti enake.